热门试卷

解析： （1）证明：∵ 平面，平面

∴

又∵是菱形  ∴

∴平面   ∵平面

∴              …………6分

（2）分别以方向为轴建立空间直角坐标系，设，则

由（1）知：平面的法向量为，令平面PAB的法向量为，

则根据得∴

因为二面角A-PB-D的余弦值为，则，即

   ………………9分

∴

设EC与平面PAB所成的角为，∵，则

    ………………12分

（1）当为 中点时,有平面

证明:连结交于,连结∵ 四边形是矩形

∴为中点又为中点,从而

∵平面,平面∴平面

（2）

建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,

所以,。

设为平面的法向量,则有，,即

令,得面的一个法向量为,面的一个法向量为

所以，故二面角的余弦值为

(解法一)：

（1）由题意可知  ，

解得  ，                                        …………分

在中，，

∴  ，

又 ∵是的中点，

∴ .　　　　①

∵ 为圆的直径，

∴  .

由已知知  ，

∴  ，

∴   .

∴  .       ②

∴  由①②可知：，

∴  .                           …………分

（2） 由（1）知： ，

∴，，

∴是二面角的平面角 .       …………分

, , .

∴ .

 .    ………分

(解法二)：

建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知.

解得.

则，，， ，

∵是的中点，

∴ 可求得.       …………2分

（1），，

∴ .

∵ ，

∴  .            …………4分

（2）由（1）知,，  ，

，    .

∵，.

∴是平面的法向量.                                     …………8分

设是平面的法向量，

由，，

解得                                                …………10分

.

所以二面角的平面角的余弦值.                   …………12分

解析：解法一：

（1）设，连接,

分别是、的中点，则，                                           ……1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面，所以平面，

所以平面，

又平面，所以；                                                    ……3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.                                                         ……6分

（2）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，

所以平面，

平面平面，

所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，

故；

所以平面，则。

所以是二面角的平面角。

……10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

解法二：

（1）因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面，

所以平面，                                                                              ……2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。

                  ……4分

，，所以，……6分

（2），，

设平面的法向量为，

则

令，得，       ……8分

又，，

所以平面的法向量，                                                  ……10分

，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

解析：解法1：

（1）由三棱柱是直三棱柱可知，即为其高.

如图1，因为∥，所以是异面直线与所成的角或其补角.

连接，因为，所以.

在Rt△中，由，，可得.              3分

又异面直线与所成的角为，所以，即△为正三角形.

于是.

在Rt△中，由，得，即棱柱的高为.        3分

（2）设，如图1，过点在平面内作于F，则

由平面，平面，得.

而，所以平面.

故就是与平面所成的角，即.                  2分

在△中，由，得，

在△中，由，，得，

在△中，.                    2分

令，

因为，当且仅当，即时，等号成立.

所以，

故当时，的最大值.                                         2分

解法2：

建立如图2所示的空间直角坐标系

设，则有

，，，，

，，.                              2分

（1）因为异面直线与所成的角，所以，    2分

即，得，解得.                       2分

（2）由是的中点，得，于是.

设平面的法向量为，于是由，，可得

 即 可取，                       2分

于是.

而.        2分

令，

因为，当且仅当，即时，等号成立.

所以，

故当时，的最大值.                              2分

（1） 

（2）

由（1）可知，BO⊥平面PAC，故在平面PAC内，作OM⊥A，

连结BM（如图），则∠BMO为二面角的平

面角，在中，易知

即二面角的正切值为   

依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，

空间向量法 如图建立空间直角坐标系，因为＝4，

则

（1），

，∴，∴

，      ∴，∴

∵  平面 ∴ ⊥平面         （4分）

（2） 平面AEO的法向量为，设平面 B1AE的法向量为

， 即

令x＝2，则

∴

∴二面角B1—AE—F的余弦值为                          （8分）

（3）因为，∴， ∴

∵，

∴            （12分）

（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），

B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；

设平面ACM的一个法向量

所以所求角的大小为arcsin。