空间点、线、面的位置关系_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为( )

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面平行的判定与性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

18.如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．

（I）证明：平面ABEF古平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

正确答案

(1) 证明

∵ 平面ABEF为正方形

∴ AF⊥PE

又∵ ∠AFD=90°即AF⊥FD

而FE，FD 平面FECD 且 FE∩FD=F

∴ AF⊥平面EFDC

又AF平面ABEF

∴平面ABEF ⊥平面EFDC

(II) ∵ 二面角D-AF-E的平面角为60°

∴ ∠DFE=60°

在平在面EFDC内作DO⊥EF 于点O, 则DO⊥平面ABEF.

令AF=4,则DF=2.在△ADF 中， OF=1,OD=

在平面ABEF 内作OA//AF 交AB 于M , 则OM ⊥EF

以O为原点，OM,OE,OD 分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则E（0，3，0）,B(4,3,0),C(0,4, ),D(4,-1,0)

直角坐标系，则E（0，3，0），B（4，3，0），C(0，4， )，D（4，-1，0）

设平面EBC法向量为则而

∴∴

(II)

设平面BCA法向量为

则而

∴ ∴

∴

∴ 二面角E-BC-A的余弦值为

知识点

异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质二面角的平面角及求法

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题型：填空题

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填空题 · 6 分

11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.

正确答案

72；32

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.

(1) 若AB=6 m,PO1=2 m，则仓库的容积是多少？

(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库的容积最大？

正确答案

(1)

(2)

当时，，单调递减，

因此，当时，取到最大值，
即时，仓库的容积最大．

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．

19.求三棱锥的体积；

20.求异面直线与所成角的大小．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

连，则

∴为正三角形

∴

又三棱锥的高为

∴

考查方向

多面体的体积

解题思路

确定三棱锥的高为，求得底面的面积，利用棱锥体积公式求得三棱锥的体积；

易错点

三棱锥的高找错了

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点在下底面圆周的射影为，连，则

∴为直线与所成角（或补角）

连

，

∴

∴为正三角形

∴

∴直线与所成角大小为．

考查方向

异面直线所成的角．

解题思路

利用平行，找到直线与所成的角为（或其补角）

易错点

在圆柱体内找直线与所成角

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.

正确答案

2

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.（本题满分12分）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧

(1) 求三棱锥的体积

(2) 求异面直线与所成角的大小

正确答案

(1) 连，则

∴为正三角形

∴

(2) 设点在下底面圆周的射影为，连，则

∴为直线与所成角（或补角）

连

,

∴

∴为正三角形

∴

∴直线与所成角大小为

知识点

组合几何体的面积、体积问题异面直线及其所成的角

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果，那么.

（2）如果，那么.

（3）如果，那么.

（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.

其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号）

正确答案

②③④

解析

试题分析：对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为，所以过直线n作平面与平面相交的直线c，则n//c，因为，所以，所以，故②正确；对于③，有两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成交的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④。

考查方向

本题主要考察空间中的线面、面面位置关系等知识点．

解题思路

根据相关定理直接进行判断。

易错点

忽略在空间中考虑线、面关系导致出错。

知识点

异面直线及其所成的角

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

19.证明：平面AEC⊥平面AFC；

20.求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.

由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，

又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.

在Rt△FDG中，可得FG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，

∴，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

解析

见答案

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；

易错点

本题在证明过程中推理不严密易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分

故.

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

易错点

本题在写垂直的过程不能写全条件。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为1，侧棱长为2，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值是 .

正确答案

解析

试题分析：本题属于空间角的计算问题，题目的难度较小。注意利用向量法比推理法简单。

考查方向

本题主要考查了立体几何的空间角的问题。

解题思路

本题考查异面直线所成的角，解题步骤如下：

利用向量法，建立空间直角坐标系，写出向量AC1和B1C的坐标，再用夹角的余弦公式求解。

。

易错点

本题必须注意正四棱柱的性质，忽视则会出现错误。

知识点

棱柱的结构特征异面直线及其所成的角

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正确答案

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解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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