空间点、线、面的位置关系
共375题

空间点、线、面的位置关系
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题型：简答题

简答题 · 12 分

某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为和，且各局比赛胜负互不影响.

（1）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；

（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，

则所求概率为. …………………………………… 4分

（2）由题意知，的取值为.

则，

故的分布列为

………10分

则 ……………………12分

知识点

异面直线的判定

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知公比不为的等比数列的首项，前项和为，且成等差数列。

（1）求等比数列的通项公式；

（2）对，在与之间插入个数，使这个数成等差数列，记插入的这个数的和为，求数列的前项和。

正确答案

见解析

解析

（1）因为成等差数列，

所以，………………………………………………2分

即，所以，因为，所以，……………4分

所以等比数列的通项公式为；………………………………………………6分

（2），………………………………………………………9分

，………………………………………………………12分

知识点

异面直线的判定

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图5,已知△ABC为直角三角形,∠ACB为直角.以AC为直径作半圆O,使半圆O所在平面⊥平面ABC,P为半圆周异于A,C的任意一点。

(1) 证明:AP⊥平面PBC

(2) 若PA=1,AC=BC=2,半圆O的弦PQ∥AC,求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

异面直线的判定

题型：简答题

简答题 · 13 分

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.

（1）求证：A1C⊥平面BCDE；

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

正确答案

见解析

解析

（1），

平面，

又平面，

又，

平面。

（2）如图建系，则，，，

∴,

设平面法向量为

则 ∴ ∴

∴

又∵

∴

∴，

∴与平面所成角的大小。

（3）设线段上存在点，设点坐标为，则

则，

设平面法向量为，

则 ∴

∴。

假设平面与平面垂直，

则，∴，，，

∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。

知识点

异面直线的判定

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，正方体的棱长为

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求四棱锥的体积。

正确答案

（1）（2）

解析

解析:（1）以为坐标原点，分别以射线、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示。则,,,……1分

,,……2分

设是平面的法向量，则

,即令，则…3分

设直线与平面所成角为，则……4分

由于，所以……5分

即直线与平面所成角的大小为；……6分

（2）由（1）得……8分

所以点到平面的距离……10分

因为四边形是矩形，所以面积……12分

……14分

知识点

异面直线的判定

题型：单选题

单选题 · 5 分

如右图,在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为（）

正确答案

解析

略

知识点

异面直线的判定

题型：填空题

填空题 · 5 分

一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是___________。

正确答案

解析

略

知识点

异面直线的判定

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在直三棱柱中，，，E是BC的中点。

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线AE与A1C所成的角。

正确答案

见解析

解析

（1）四棱锥的底面积，高………（3分）

∴ ………（6分）

（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，

则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。…（8分）

由，知，，

∴ …（10分）

中，。 …（13分）

所以异面直线AE与A1C所成的角为。 …（14分）

知识点

异面直线的判定

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且。

（1）求四棱锥的体积；

（2）求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值。

正确答案

（1）4（2）

解析

解析：（1）……7分

（2）建立如图所示的直角坐标系，则

,,,，

, ……………………2分

设平面的法向量为，则

，

所以 ……………………………2分

平面的法向量为，则

所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为。

知识点

异面直线的判定

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在边AB,AD上，，现将沿线段EF折起到位置，使得.

（1）求五棱锥的体积;

（2）求平面与平面的夹角.

正确答案

见解析

解析

（1）连接，设，由是正方形，，

得是的中点，且，从而有，

所以平面，从而平面平面，……………2分

过点作垂直且与相交于点，

则平面………………………………4分

因为正方形的边长为，，

得到:，所以，

所以

所以五棱锥的体积；……………6分

（2）由（1）知道平面，且，即点是的交点，

如图以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，………………………7分

设平面的法向量为，则

，

令，则，………………………9分

设平面的法向量，则，

，

令，则，即， ………………………………11分

所以，即平面与平面夹角.………………………12分

知识点

异面直线的判定

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