不等式的基本性质
共7题

· 不等式的基本性质

不等式的基本性质
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题型：简答题

简答题 · 10 分

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

选修4-1：几何证明选讲（请回答28、29题）

如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作

，垂足为．

选修4—4：坐标系与参数方程（请回答30、31题）

在直角坐标系中，圆的方程为．

选修4—5：不等式选讲（请回答32、33题）

已知函数，为不等式的解集．

28.证明：四点共圆；

29.若，为的中点，求四边形的面积．

30.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

31.直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．

32.求；

33.证明：当时，．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）详见解析；

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：

（Ⅰ）证明：∵

∴

∵，

∴

∴．

∴B，C，G，F四点共圆．

考查方向

本题考查了三角形相似、全等，四点共圆等知识点。

解题思路

（1）利用三角形相似即可证明四点共圆；

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：

（II）由四点共圆，知，连结，

由为斜边的中点，知,故

因此四边形的面积是面积的2倍，即

考查方向

本题考查了三角形相似、全等，四点共圆等知识点。

解题思路

（2）由四点共圆可得，再证明，根据四边形的面积是面积的2倍求得结论．

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：（I）由可得的极坐标方程

考查方向

本题考查了圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式等知识点。

解题思路

（1）直接利用互化公式即可求出极坐标方程；

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为

由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，

所以的斜率为或.

考查方向

本题考查了圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式等知识点。

解题思路

（2）先求出直线l的极坐标方程，将其带入C的极坐标方程得到关于的一元二次方程，再根据维达定理、弦长公式求出，进而求出直线的斜率．

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：

（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

考查方向

本题考查了绝对值不等式，不等式的证明等知识点。

解题思路

（1）根据零点分段讨论法直接求解；

易错点

第二问不知如何运用已知条件导致此问无思路。

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）详见解析.

解析

（II）由（I）知，当时，，

从而，

因此

考查方向

本题考查了绝对值不等式，不等式的证明等知识点。

解题思路

（2）采用平方作差法，再临行因式分解，进而可证当时．

易错点

第二问不知如何运用已知条件导致此问无思路。

题型：简答题

简答题 · 15 分

已知函数，.

24.若，且关于的不等式在上有解，求的最小值；

25.若函数在区间上不单调，求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

试题分析：本题属于分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性的综合应用问题，属于拔高题，不易得分，解析如下：当时，

结合图象可知，

函数在上单调递减，在上单调递增，

，由已知得，有解，只要，所以，

即的最小值为.

考查方向

本题考查了分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性等知识点。

解题思路

先求出函数的最值，再利用恒成立求实数的最小值；

易错点

第二问中忽略对实数a范围的讨论导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或．

解析

试题分析：本题属于分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性的综合应用问题，属于拔高题，不易得分，解析如下：

（1）若，则在上单调递增，不满足条件；

（2）若，则，所以,

在上递减，在上递增，

故在上不单调等价于：解得；

（3）若，则

结合图象，有以下三种情况：

当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上不单调等价于解得；

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由于恒成立，

所以在区间上不单调成立，即符合题意；

③当时，在上递减，在上递增，因此在上不单调，符合题意. 综上所述，或.

考查方向

本题考查了分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性等知识点。

解题思路

根据题中条件就参数a的范围进行分类讨论，结合函数在区间上不单调，即可求除的取值范围．

易错点

第二问中忽略对实数a范围的讨论导致出错。

题型：简答题

简答题 · 20 分

21.（选做题，以下A.B.C.D四㼵中选择两题做答）

A．（选修4-1：几何证明选讲）

　　如图，的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于P，E为上一点，AE=AC，DE交AB于点F。

　　求证：

B．（选修4-2：矩阵与变换）

　　已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点变成了点，点变成了点，求矩阵M的逆矩阵。

C．选修4-4：坐标系与参数方程）

　　已知曲线，直线。

　　（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

　　（2）设点P在曲线C上，求P点到直线距离的最小值。

D．（选修4-5：不等式选讲）

　　设函数，若不等式对任意且恒成立，求实数x的范围。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

不等式的基本性质

题型：简答题

简答题 · 20 分

21.【选做题】

在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.（几何证明选讲选做题）

如图，已知AB为园O的直径，BC切园O于点B，AC交园O于点P，E为线段BC的中点，求证OP⊥PE。

B.（矩阵与变换选做题）

已知,，设曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程。

C.（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为（t为参数）；在以O为极点、射线为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长。

D.（不等式选做题）

设x，y均为正数，且x＞y，求证：。

正确答案

A．

B．

C．

D．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

不等式的基本性质

题型：简答题

简答题 · 16 分

设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

（1）设函数，其中为实数。

(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。

（2）已知函数具有性质。给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）(i)

∵时，恒成立，

∴函数具有性质；

(ii)（方法一）设，与的符号相同。

当时，，，故此时在区间上递增；

当时，对于，有，所以此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，而，

对于，总有，，故此时在区间上递增；

（方法二）当时，对于，

所以，故此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而

当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。

综上所述，当时，在区间上递增；

当时，在上递减；在上递增。

（2）（方法一）由题意，得：

又对任意的都有>0，

所以对任意的都有，在上递增。

又。

当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。

①当时，有，

，得，同理可得，所以由的单调性知、，

从而有||<||，符合题设。

②当时，，

，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。

③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。

知识点

函数单调性的性质导数的运算不等式的基本性质

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