等差数列_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。

（1）若=，证明，，成等比数列（）

（2）若对任意，，，成等比数列，其公比为。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：由题设，可得。

所以

=

=2k(k+1)

由=0，得

于是。

所以成等比数列。

（2）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得

当≠1时，可知≠1，k

从而

所以是等差数列，公差为1。

（2）证明：，，可得，从而=1.由（1）有

所以

因此，

以下分两种情况进行讨论：

（1）当n为偶数时，设n=2m()

若m=1,则.

若m≥2，则

+

所以

(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）

所以从而···

综合（1）（2）可知，对任意,,有

证法二：（i）证明：由题设，可得

所以

由可知。可得，

所以是等差数列，公差为1。

（ii）证明：因为所以。

所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。

从而。

所以，由，可得

。

于是，由（i）可知

以下同证法一。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝__________.

正确答案

35

解析

∵{an}，{bn}均是等差数列，根据等差数列的性质可得a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3，即a5＝2a3－a1，b5＝2b3－b1，

∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

正确答案

21

解析

考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，

所以。

知识点

导数的几何意义导数的运算等差数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知递增的等差数列满足,,则________.

正确答案

解析

设公差为,依题意可得,解得(舍去),所以.

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知等差数列满足：，，的前n项和为。

（1）求及；

(2) 令，求数列的前n项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）设等差数列的首项为，公差为d，

由于

所以

解得

由于

(2)因为所以

因此

故

所以数列的前n项和

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值裂项相消法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知a是给定的实常数，

设函数是的一个极大值点.

（1）求b的取值范围;

（2）设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？若存在，示所有的b及相应的若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）解：

令

则

于是可设是的两实根，且

1）当时，则不是的极值点，此时不合题意

2）当时，由于是的极大值点，

故即

即

所以

所以的取值范围是（-∞，）

（2）解：由（Ⅰ）可知，假设存了及满足题意，则

1）当时，则

于是

即

此时

或

2）当时，则

①若

于是

即

于是

此时

②若

于是

即

于是

此时

综上所述，存在满足题意

当

知识点

导数的几何意义导数的运算等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列

（1）求数列的通项公式及

（2）记，，当时，试比较与的大小。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）解：设等差数列{an}的公差为d,由

得。因为,所以

所以，

（2）解：因为所以

因为所以

当n≥2时，，即

所以，当a＞0时，；当a＜0时，

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设数列的前项和为,满足,,且成等差数列。

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明:对一切正整数,有.

正确答案

见解析

解析

（1）因为,当时,,即,

当时,,即,又

联立上述三个式子可得.

（2）由（1）可知

当时,由得,两式相减整理得,

即,即,又,

所以为首项为,公比为的等比数列,

所以,所以.

（3）当时,显然成立,当时,显然成立。

当时,

又因为,所以, 所以

所以.

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列的各项均为正数，记，，，

（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.

（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.

正确答案

见解析

解析

（1）对任意,三个数是等差数列，所以

即亦即故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是

（2）①必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有

由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.

②充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则，

于是得

即

由有即，从而.

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.

知识点

充要条件的判定等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明

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