等差数列_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，已知数列是正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列.

正确答案

解析

由等差数列的的和，则等比数列可类比为

﹒的积；对求算术平均值，所以对

﹒求几何平均值，所以类比结果为.

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列的首项，，。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：，。

正确答案

见解析。

解析

（1）由，得，

所以是首项，公差的等差数列

，所以，

（2）（方法一），

时，由以上不等式得

，

因为是递增数列，所以，

（方法二），

时，由以上不等式得

，

因为是递增数列，所以，

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设等比数列的前项和为，已知()

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列。

求证：()。

正确答案

见解析。

解析

（1）设等比数列的首项为，公比为，

，（）

=

即()

当,得，即，解得：

即.

（2）①，则，

设① 则②

① -②得：2+

=+

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于 .

正确答案

8192

解析

等差数列中，，则，

取，.

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知等差数列中,,前7项和,则等于

A18

B20

C24

D32

正确答案

A

解析

略

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知集合，

具有性质：对任意的，至少有一个属于。

（1）分别判断集合与是否具有性质；

（2）求证：①；

②；

（3）当或时集合中的数列是否一定成等差数列?说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）集合具有性质，

，，集合不具有性质，———3分

（2）由已知，，

则，仍由知；———5分

，，

———6分

将上述各式两边相加得

，即；———8分

（3）当时，集合中的数列一定是等差数列。

由（2）知，且，

故，而这里，反之若不然

这与集合中元素互异矛盾，只能，即

成等差数列， ———9分

当时，集合中的元素不一定是等差数列。

如，中元素成等差数列，

又如，中元素不成等差数列；———11分

当5时，集合中的元素一定成等差数列

证明：

令①②

②①有，且由①

，

又，

成等差数列， ———13分

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= 。

正确答案

解析

略

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知定点,,动点,且满足成等差数列。

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若曲线的方程为(),过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由,,

根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,

其长轴,焦距,短半轴,故的方程为.

（2）过点与X轴垂直的直线不与圆相切，故可设:,由直线与曲线

相切得,化简得

由,解得

联立,消去整理得,

直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为,解方程可得,有

令,则,

考查函数的性质知在区间上是增函数,

所以时,取最大值,从而.

知识点

等差数列的性质及应用直接法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则。

正确答案

数列为等比数列，且通项为

解析

略

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

若正项数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等比数列。

（1）已知数列为2级等比数列，且前四项分别为，求的值；

（2）若为常数），且是级等比数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列的前项和；

（3）证明：为等比数列的充要条件是既为级等比数列，也为级等比数列。

正确答案

见解析

解析

（1）

（2）是级等比数列，

所以，

最小正值等于，此时

，，

（3）充分性：若为等比数列，则

对一切成立，显然对成立。

所以既为级等比数列，也为级等比数列。

必要性：若为级等比数列，，则均成等比数列，设等比数列的公比分别为，为级等比数列，，则成等比数列，设公比为

既是中的项，也是中的项，

设，则

所以（），（），

又，，

所以，

（）

所以，，（）

综合得：，显然为等比数列。

知识点

等差数列的性质及应用

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