- 等差数列
- 共618题
对于数列,令
为
,
,
,
中的最大值,称数列
为
的“创新数列”.例如数列
,
,
,
,
的创新数列为
,
,
,
,
.
定义数列:
是自然数
,
,
,
,
的一个排列。
(1)当时,写出创新数列为
,
,
,
,
的所有数列
;
(2)是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列
,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意,创新数列为,
,
,
,
的所有数列
有两个,即数列
,
,
,
,
;
数列,
,
,
,
.
(2)存在数列,使它的创新数列为等差数列。
数列
的创新数列为
,
因为是
中的最大值,
所以.
由题意知,为
中最大值,
为
中的最大值,
所以,且
.
若为等差数列,设其公差为
,
则且
,
当时,
为常数列,又
,
所以数列
为
,
,
,
.
此时数列是首项为
的任意一个符合条件的数列
;
当时,因为
,所以数列
为
,
,
,
,
.
此时数列为
,
,
,
,
;
当时,因为
,[来源:学科网ZXXK]
又,
,所以
,这与
矛盾,所以此时
不存在,即不存在
使得它的创新数列为公差
的等差数列.
综上,当数列为以
为首项的任意一个符合条件的数列或
为数列
,
,
,
,
时,它的创新数列为等差数列.
知识点
已知等差数列的首项
及公差
都是整数,前
项和为
,若
,设
的结果为 。
正确答案
解析
略
知识点
在如图所示的数表中,第行第
列的数记为
,且满足
,
,则此数表中的第
行第
列的数是(); 记第
行的数
为数列
,则数列
的通项公式为()。
正确答案
16;
解析
略
知识点
设等差数列前
项和
满足
,且
,S2=6;函数
,且
(1)求A;
(2)求数列的通项公式;
(3)若
正确答案
见解析。
解析
(1)由 而
解得A=1
(2)令
当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n
综合之:an=2n
由题意
∴数列{cn+1}是为公比,以
为首项的等比数列。
(3)当
当
综合之:
知识点
已知等差数列{an}的首项a1=1,前三项之和S3=9,则{an}的通项an= 。
正确答案
2n﹣1
解析
设等差数列{an}的公差为d,
由S3=a1+(a1+d)+(a1+2d)=9,
即3a1+3d=9,
所以a1+d=3,
因为a1=1,所以1+d=3,则d=2.
所以,an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
故答案为2n﹣1.
知识点
已知数列的前
项和为
,且
是
与2的等差中项,数列
中,
,点
在直线
上。
(1)求数列的通项公式
和
;
(2)设,求数列
的前n项和
。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵是
与2的等差中项, ∴
① ………2分
∴
②
由①-②得
………4分
再由 得
∴ ………6分
。
∴ ……8分
(2)
①
。 ②
①-②得:,…… 10分
即:,
∴。 …………12分
知识点
等差数列中,
, 则
正确答案
14
解析
略
知识点
等差数列中,
,记
,则
=
正确答案
解析
略
知识点
已知等差数列{an}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和Sn取最大值时,n的值为( )
正确答案
解析
设数列的公差为d,由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d),解得,
由an=a1+(n﹣1)d=,可得
,
所以数列{an}前21项都是正数,以后各项都是负数,
故Sn取最大值时,n的值为21,
故选B。
知识点
设等差数列的前
项之和
满足
,那么
。
正确答案
4
解析
略
知识点
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