等差数列
共618题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

对于数列，令为，，，中的最大值，称数列为的“创新数列”.例如数列，，，，的创新数列为，，，，.

定义数列：是自然数，，，，的一个排列。

（1）当时，写出创新数列为，，，，的所有数列；

（2）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，创新数列为，，，，的所有数列有两个，即数列，，，，；

数列，，，，.

（2）存在数列，使它的创新数列为等差数列。

数列的创新数列为，

因为是中的最大值，

所以.

由题意知，为中最大值，为中的最大值，

所以，且.

若为等差数列，设其公差为，

则且，

当时，为常数列，又，

所以数列为，，，.

此时数列是首项为的任意一个符合条件的数列；

当时，因为，所以数列为，，，，.

此时数列为，，，，；

当时，因为，[来源:学科网ZXXK]

又，，所以，这与矛盾，所以此时不存在，即不存在使得它的创新数列为公差的等差数列.

综上，当数列为以为首项的任意一个符合条件的数列或为数列，，，，时，它的创新数列为等差数列.

知识点

等差数列的判断与证明等差数列的性质及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为。

正确答案

解析

略

知识点

等差数列的性质及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，，则此数表中的第行第列的数是（）；记第行的数为数列，则数列的通项公式为（）。

正确答案

16；

解析

略

知识点

等差数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

设等差数列前项和满足，且，S2=6；函数，且

（1）求A；

（2）求数列的通项公式；

（3）若

正确答案

见解析。

解析

（1）由而

解得A=1

（2）令

当n=1时，a1=S1=2,当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2+n

综合之：an=2n

由题意

∴数列{cn+1}是为公比，以为首项的等比数列。

（3）当

当

综合之：

知识点

等差数列的性质及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知等差数列{an}的首项a1=1，前三项之和S3=9，则{an}的通项an=　　。

正确答案

2n﹣1

解析

设等差数列{an}的公差为d，

由S3=a1+（a1+d）+（a1+2d）=9，

即3a1+3d=9，

所以a1+d=3，

因为a1=1，所以1+d=3，则d=2．

所以，an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

故答案为2n﹣1．

知识点

等差数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，数列中，，点在直线上。

（1）求数列的通项公式和；

（2）设，求数列的前n项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵是与2的等差中项， ∴ ① ………2分

∴ ②

由①-②得

………4分

再由得

∴ ………6分

。

∴ ……8分

（2）

①

。 ②

①-②得：，…… 10分

即：，

∴。 …………12分

知识点

等差数列的性质及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

等差数列中,, 则

正确答案

解析

略

知识点

等差数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

等差数列中，，记，则=

A130

B260

C156

D160

正确答案

解析

略

知识点

等差数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知等差数列{an}满足，a1＞0，5a8=8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为（　　）

A20

B21

C22

D23

正确答案

解析

设数列的公差为d，由5a8=8a13得5（a1+7d）=8（a1+12d），解得，

由an=a1+（n﹣1）d=，可得，

所以数列{an}前21项都是正数，以后各项都是负数，

故Sn取最大值时，n的值为21，

故选B。

知识点

等差数列的性质及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

设等差数列的前项之和满足，那么。

正确答案

解析

略

知识点

等差数列的性质及应用

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