等差数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

将各项均为正数的数列排成如下所示的三角形数阵（第行有个数，同一行中，下标小的数排在左边）。表示数阵中，第行、第1列的数。已知数列为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为的等差数列（第3行的3个数构成公差为的等差数列；第4行的4个数构成公差为的等差数列，……），，，。

（1）求数阵中第行、第列的数（用、表示）

（2）求的值；

正确答案

见解析

解析

（1）设的公比为。

依题意，为数阵中第5行、第2列的数；为数阵中第6行、第3列的数。

∴ ，，，。…………… 3分

∴ ，，。

∴ 。 ………………… 6分

（2）由，，知，

为数阵中第63行，第61列的数。

∴ 。 ………………… 12分

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知等差数列中，首项a1=1，公差d为整数，且满足数列满足前项和为。

（1）求数列的通项公式an；

（2）若S2为Sl，的等比中项，求正整数m的值。

正确答案

（1）

（2）12

解析

解析：

（1）由题意，得解得< d <。

又d∈Z，∴d = 2，∴an=1+(n－1)2=2n－1。 4分

（2）∵，

∴。 10分

∵，，，S2为S1，Sm(m∈)的等比中项，

∴，即，解得m=12。12分

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）设(），问:是否存在非零整数，使数列为递增数列。

正确答案

见解析

解析

（1）设公差为（d≠0），

由题意，知，。

于是

解得。

，………………………4分

（2）∵，

∴。

要使数列为递增数列，则恒成立，

恒成立，

恒成立

（i）当n为奇数时，即恒成立，

当且仅当n=1时，有最小值为1

所以

（ii）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当n=2时，有最大值-2，

所以

即，又为非零整数，则= -1

综上所述，存在= -1，使数列为递增数列

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知{an}是公差为﹣2的等差数列，a1=12，是|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|=（　　）

A222

B232

C224

D234

正确答案

C

解析

根据题意可得：数列{an}是公差为﹣2的等差数列，a1=12，所以an=14﹣2n，所以当n＞7时an＜0，所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20=12+10+8+…+2+0+（2+4+6+…+26）=224。

故选C。

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知等差数列的前项和为，且且，则下列各值中可以为的值的是（）

A2

B3

C4

D5

正确答案

D

解析

由已知，设，则

两式相减得，，故。

，故只有D符合。

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知数列{an}的前n项和，且Sn的最大值为8，则a2=　　。

正确答案

2.5

解析

∵是关于n的二次函数

当n=k时取得最大值=8

∴k=4，即

∴a2=s2﹣s1=6﹣3.5=2.5

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知等比数列{an}为递增数列，且，则数列an的通项公式an=　　。

正确答案

解析

∵ ，∴ ，

∴ a1=q，

∴ ，

∵ 2（an+an+2）=5an+1，

∴ ，

∴ 2（1+q2）=5q，

解得q=2或q=（等比数列{an}为递增数列，舍去）

∴ 。

故答案为：2n。

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

若实数列满足,则称数列为凸数列。

（1）判断数列是否是凸数列?

（2）若数列为凸数列,

（i）求证：;

（ii）设是数列的前项和,求证：.

正确答案

见解析。

解析

（1）

数列是凸数列。

（2）（i）由得

,

,故.

（ii）由得.①

故先证是凸数列。

在中令得

,令叠加得

,

故是凸数列, 由①得.

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，当n≥2时，an+1是an•an﹣1的个位数，则a2010=　。

正确答案

4

解析

故答案为：4。

由题意得，a3=a1•a2=6，定义f（x）=x的个位数

则a4=f（a3•a2）=8，

依此类推，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，

到此为止，看出一个周期，a9=a3，a10=a4，周期为6，

因为前2项不符合周期，所以2010﹣2=2008，2008=6×334+4，

所以a2010=a6=4。

知识点

等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足：，求证：；

（3）求证：

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，

可得：

可得，

（2）当n=2时，不等式成立。

假设当时，不等式成立，即那么，当时，

所以当n=k+l时，不等式也成立。

根据可知，当时，

(3)设

在上单调递减，

当时，

知识点

等差数列的性质及应用

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