热门试卷

（1）-----------------------2分

由题设，

，.     -------------------------------4分

（2）,，，即

设，即.

-------------------------------------6分

①若，，这与题设矛盾.-----------------8分

②若方程的判别式

当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立.          ----------------------------------------------------------------------9分

当时，方程，其根，，当,单调递增，，与题设矛盾.

综上所述， .------------------------------------------------------------------------10分

（3）由（2）知,当时, 时,成立.

不妨令

所以，

----------------------11分

   ---------------------12分

累加可得

------------------------14分

（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2。

因为f(n)是单调增函数，

所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5。

因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4.               

（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1。

证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，

所以f (n+1)≥f (n)+1。

首先证明：f (n)≥n+1。

因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立。

假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1。

则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立。

综上，f (n)≥n+1.                           

由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1。

下面证明：f (n)＝n+1。

因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立。

假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，

则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，

又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2。

即n＝k+1时，命题也成立。

所以f (n)＝n+1                             

解法二：由f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝5，猜想f(n)＝n＋1.

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1，2，3，4时，命题成立。

②假设当n≤k (k≥4)时，命题成立，下面讨论n＝k＋1的情形。

若k为奇数，则k＋1为偶数，且。

根据归纳假设知

。

因为，

所以，

若k为偶数，则k＋2，k＋4为偶数，且。

根据归纳假设知

。

因为，

所以，即f(k＋2)＝k＋3。

又k＋1＝f(k)＜f(k＋1)＜f(k＋2)＝k＋3。

所以f(k＋1)＝k＋2

因此不论k的奇偶性如何，总有f(k＋1)＝k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立

于是对一切n∈N*，f(n)＝n＋1，

解法三：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，

所以f (n+1)≥f (n)+1，又f(1)＝2，所以f (n)≥n+1

由已知可得：f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)

而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即：f(n+1)≤3 f (n)－2n－1

或者f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1)

所以有f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1)

≤32(f (n－1)－n)

≤33(f (n－2)－n＋1)

……

≤3n(f (1)－2)＝0

于是f(n+1)≤n＋2               又f (n＋1)≥n+2

所以f(n+1)＝n＋2，又f(1)＝2

所以f(n)＝n＋1

证： 因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，                    

由绝对值不等式性质，得

|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)

。

即|x＋5y|≤1.