热门试卷

（1）F（x）＝－lnx－＋1，则F′(x)＝

当x∈（0，1）时F′（x）＞0，x∈（1，＋∞）时F′（x）＜0

∴F（x）在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，

F（x）max＝F（0）＝0；∴当 时，f (x)≤g(x) 恒成立， 即  时 lnx≥1－恒成立。∴f (x2) －f (x1)＝ln ≥1－＝－（x2－x1）＝f′(x1)（x2－x1）…………

（2）证明：设λ1＞0，λ2＞0且λ1＋λ2＝1　　　　　

令x3＝λ1 x1＋λ2 x2，则 且

x1－x3＝λ2（x1－x2）　　x2－x3＝λ1（x2－x1）

由（1）知f (x1) －f (x3) ≥f′(x3)( x1－x3) ＝λ2 f′(x3)( x1－x2) ………①

f (x2) －f (x3) ≥f′(x3)( x2－x3) ＝λ1 f′(x3)( x2－x1)  ………②

①×λ1＋②×λ2，得

λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) －（λ1＋λ2）f (x3) ≥λ1λ2 f′(x3) ( x1－x2)＋λ1λ2 f′(x3)( x2－x1)＝0

∴λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) ≥（λ1＋λ2）f (x3) ＝f (x3) ＝f（λ1 x1＋λ2 x2）…………8分

猜想：λi＞0，xi＞0（i＝1，2，…n）且λ1＋λ2＋ λn＝1时有

λ1 f (x1) ＋λ2 f (x2) ＋…＋λn f (xn) ≥f（λ1 x1＋λ2 x2＋…＋λn xn）…………9分

（3）证明：令λi＝

则有λ1＋λ2＋…＋λn＝1

由猜想结论得：

＋＋…＋

≥－ln（＋＋…＋）

＝－ln＝ln

∴a1lna1＋a2lna2＋…＋anlnan≥(a1＋a2＋…＋an) ln

即≥     …………14分

法2：令 ，可证明得： ，

即 对任意 恒成立。分别令 可得：

a1lna1＋a2lna2＋…＋anlnan≥ 。再令     可得证

弦长为.

解析： （1）设，于是

所以 又，则，所以.   ……………5分

（2）因为对，所以在内单调递减.

于是

 …………………8分

记，则

所以函数在是单调增函数，

所以，故命题成立.    ………………… 12分