导数的加法与减法法则
共661题

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题型：简答题

简答题 · 15 分

如图，在直角三角形中，是斜边的两个三等分点,已知，且.

（1）若，求的值；

（2）试判断是否为定值，并说明理由；

（3）求的面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）[解法1] ，消去得

，

，即，，或得或.

[解法2]将已知方程两边平方，得，即

，

即

.得或.

（2）[解法1]以O为原点，建立平面直角坐标系，设，由是斜边的两个三等分点, 则，所以

则由得

为定值…

[解法2]

所以，为为定值.

（3） [解法1]作于，则的面积为

（当时取等号）…

[解法2] ，所以的面积为

（当时取等号）

知识点

导数的加法与减法法则

题型：简答题

简答题 · 15 分

已知函数，.

（1）若，求函数在区间上的最值；

（2）若恒成立，求的取值范围.

注：是自然对数的底数，约等于.

正确答案

见解析

解析

解：（1）若，则.

当时，，

，

所以函数在上单调递增；

当时，，

所以函数在区间上单调递减，

所以在区间上有最小值，又因为，

，而，

所以在区间上有最大值.

（2）函数的定义域为。

由，得。（*）

（ⅰ）当时，，，

不等式（*）恒成立，所以；

（ⅱ）当时，

①当时，由得，即，

现令，则

因为，所以，故在上单调递增，

从而的最小值为，因为恒成立等价于，

所以；

②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.

综上可得，满足条件的的取值范围是.

知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为________。

正确答案

解析

直线l普通方程为，圆C的直角坐标方程为，配方得，，故圆心C到直线l距离为。

知识点

导数的加法与减法法则

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知A、B为抛物线C：y2 = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点。

（1）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；

（2）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求面积的最小值。

正确答案

（1）；

（2）

解析

（1）设，（）。

易知斜率存在，设为，则方程为.

由得，①

由直线与抛物线相切，知.

于是，，方程为.

同理，方程为.

联立、方程可得点坐标为，

∵ ，方程为，

过抛物线的焦点.

∴，∴，点P在定直线上。

（2）由（1）知，的坐标分别为，

∴.

∴ .

设（），，

由知，，当且仅当时等号成立。

∴ .

设，则.

∴ 时，；时，.在区间上为减函数；

在区间上为增函数.

∴ 时，取最小值.

∴ 当，，

即，时，面积取最小值。

知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知数列共有9项，其中，，且对每个，均有。

（1）记，则的最小值为________。

（2）数列的个数为________。

正确答案

（1）6；（2）491

解析

令，则对每个符合条件的数列，满足条件：

，且

反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列。

记符合条件的数列的个数为，显然，中有个，个，个，且的所有可能取值为。

（1）对于三种情况，易知当时，取到最小值；

（2）

知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

设A，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则是的

A充分且必要条件

B充分非必要条件

C必要非充分条件

D非充分且非必要条件

正确答案

解析

由已知得，，故，所以是的充分非必要条件。

知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，若，则的值为

正确答案

解析

过点作轴，垂足为，则在中，；在中，，故

，又，故，所以，，解得，所以。

知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（　　）

B ﹣2

D-

正确答案

解析

解：∵已知函数f（x）=log2，∴f（﹣x）=log2=﹣=﹣f（x），

故函数f（x）是奇函数，则f（﹣a）=﹣f（a）=﹣，

故选 D。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 15 分

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且。

（1）求角B的大小；

（2）已知，求的值，

正确答案

见解析

解析

解：（1）

，

∵，∴，

∴，∵，∴B=.

（2）， ∵，

∴，即，∴，

而，∴

∴

知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

设双曲线 (a>0)与直线相交于两个不同点，则双曲线的离心率e的取值范围为

正确答案

解析

依题由有两个不同的的解，消去y整理得

,又解得且 ,

又且即离心率e的取值范围为

知识点

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