由递推关系式求数列的通项公式
共176题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

10.已知数列(n∈N*)满足且t<a1<t+1,其中t>2,若则实数k的最小值为(　　).

正确答案

解析

由于t<a1<t+1,

得a2=a1-t,

易得0<a1-t<1,

即0<a2<1,又t>2,

那么a3=t+2-a2=2t+2-a1,

又t+1<2t+2-a1<t+2,

即

又1<t+2-a1<2,

即1<a4<2,

得a4<t,

从而a5=t+2-a4=a1,

结合

可得实数k的最小值为4.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

19.已知数列{bn}的前n项和．数列{an}满足，数列{cn}满足．

（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；

（2）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）当时，

又适合上式

∴

由

（2）

∵

∴ ，即

∴ {cn}的最大项为

∴

∴ 实数m的取值范围为

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.已知数列的首项

（1）求的通项公式；

（2）证明：对任意的．

正确答案

（1）

∴ ∴

又 ∵

∴ 是以为首项，为公比的等比数列

∴

（2）由 (1) 知

∴ 原不等式成立

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的基本运算等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 10 分

28．已知数列的前项的和，

（1）求的通项公式；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

正确答案

an=3n-2;

解析

（1）

当时也成立,

（2）

设

的最小值为,.

考查方向

本题主要考查数列的综合运算

解题思路

1、求出an；

2、利用公式分离出λ，即可得到结果。

易错点

本题易在分离λ时发生错误。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

32．已知两个无穷数列分别满足，，其中，设数列的前项和分别为，

（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；

（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”

①若数列为“5坠点数列”，求；

②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由。

正确答案

an=2n-1; ；；的最大值为。

解析

（1）数列都为递增数列，∴，，

∴，

；

（2）①∵数列满足：存在唯一的正整数，使得，且，

∴数列必为，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，

故；

② ∵，即，

而数列为“坠点数列”且，∴数列中有且只有两个负项．

假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，∴必为偶数

i.当时，

当时，，故不存在，使得成立

ii.当时，

显然不存在，使得成立

iii．当时，

当时，才存在，使得成立

所以

当时，，构造：为，为

此时，，所以的最大值为。

考查方向

本题主要考查数列的综合运算

解题思路

1、求出an，bn;

2、利用定义求解，即可得到结果。

易错点

本题易在利用新定义求解时发生错误。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的基本运算等比数列的基本运算数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知数列与满足，.

（1）若，且，求数列的通项公式；

（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；

（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

正确答案

（1）

（2）详见解析

（3）

解析

因为，，所以，即.

故的第项是最大项.

（3）因为，所以，

当时，

当时，，符合上式.

所以.

因为，所以，.

①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；

②当时，的最大值为，最小值为，而；

③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.

综上，的取值范围是.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

17. 在等差数列中，，数列的前n项和.

（Ⅰ）求数列，的通项公式;

（Ⅱ）求数列的前n项和．

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d，则

数列的前n项和

当n=1时，，

当n2时，，对=4不成立，

所以，数列的通项公式为

（Ⅱ）n=1时，，

n2时，，

所以

n=1仍然适合上式，

综上，

考查方向

等比数列，等比数列的前n项和

解题思路

利用构造的等比数列求前n项和公式的求解

易错点

构造等比数列

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的基本运算裂项相消法求和

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.已知各项均为正数的数列的前项和为，且（），若，则数列的通项公式　　　　　　　．

正确答案

．

解析

由已知，（），

所以．

因为，所以，．

所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，，所以当时，；当时，上式也成立，所以．应填．

考查方向

本题主要考查数列及等差数列的概念和性质，属于中档题，考查逻辑思维能力和推理论证能力。

解题思路

本题主要考查数列及等差数列的概念和性质，

解题步骤如下：用表示an，得出数列是等差数列；

由求出an,进而求出bn.

易错点

本题不易想到用来表示an，因而不能正确推出结果。

知识点

由an与Sn的关系求通项an由递推关系式求数列的通项公式

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．已知数列{}的首项a1＝1，前n项和，且数列{}是公差为2的等差数列．

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若＝，求数列{}的前n项和．

正确答案

an=4n-3;

解析

⑴解：由已知条件: 当时，当时，而，，

⑵解：由⑴可得当为偶数时，当为奇数时，为偶数综上，

考查方向

本题主要考查数列的综合运算

解题思路

1、求出an；

2、利用公式分类讨论，即可得到结果。

易错点

本题易在分类讨论时发生错误。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用分组转化法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

18.设数列的前n项和为

（I）求数列的通项公式；

（II）是否存在正整数n，使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由.

正确答案

解:(Ⅰ)

所以时,

两式相减得:

即

也即,所以为公差为的等差数列

所以

(Ⅱ)

所以

即当时,

解析

见答案

考查方向

本题主要考查数列的前n项和的求法

解题思路

第1问，利用前n项和求出通向公式，第2问等差数列变形求和。

易错点

已知前n项和求通项，找出数列规律

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的判断与证明等差数列的前n项和及其最值

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