由递推关系式求数列的通项公式
共176题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为,已知，

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式

（3）证明：对一切正整数n，有

正确答案

见解析。

解析

解(1) 依题意, ,又,所以；

(2) 当时, ,

两式相减得

整理得,即,所以

又因为且所以

故数列是首项为,公比为的等比数列,

所以,所以.

(3)因为当时,

①当时,；

②当且为奇数时,令(),

；

③当为偶数时,令(),

此时

综上,对一切正整数,有.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列和满足.若为等比数列，且

(1) 求与；

(2) 设.记数列的前项和为,

（i）求；

（ii）求正整数，使得对任意均有.

正确答案

见解析

解析

（1）∵ ①，

当n≥2，n∈N*时，②，

由①②知：当时，，令n=3，则有

∵b3=6+b2， ∴a3=8。

∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则

由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2。

∴an＝2n（n∈N*）。

又由，得：

即

∴bn=n（n+1）（n∈N*）。

（2）（i）∵

∴ =

= =

（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；

当n≥5时，

而，得

所以，当n≥5时，cn＜0，

综上，对任意n∈N*恒有，故k=4。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的性质及应用分组转化法求和数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.

正确答案

解析

求在上的最值，选.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的前项和为，且满足。

（1）求，的值；

（2）求；

（3）设，数列的前项和为，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，有，解得。

当时，有，解得。

（2）（法一）当时，有, ………①

。 …………②

①—②得：，即：。

。

另解：。

又当时，有，。

（法二）根据，，猜想：。

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，有，猜想成立。

（2）假设当时，猜想也成立，即：。

那么当时，有，

即：，①

又， …②

①-②得：，

解，得。

当时，猜想也成立。

因此，由数学归纳法证得成立，

（3），

。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知数列满足（）。

（1）求的值；

（2）求（用含的式子表示）；

（3）记数列的前项和为，求（用含的式子表示）。

正确答案

（1）3,13,39（2）（3）

解析

（1）（），

（2）由题知，有，

。

∴，

（3） ∵，

∴。

又，

当为偶数时，

，

当为奇数时，

，

综上，有

知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

设，，为整数（m>0），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，若，，则的值可以是

A2011

B2012

C2013

D2014

正确答案

解析

略

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知数列满足，则（）；前2n项和（）。

正确答案

7；

解析

略

知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

设）为平面直角坐标系上的两点，其中.令,,若,且，则称点B为点A的“相关点”，记作：,已知）为平面上一个定点，平面上点列满足：=，且点的坐标为，其中,z则点的相关点”有（）个

D10

正确答案

解析

因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知向量序列：满足如下条件：

，且（）。

若，则________；中第_____项最小。

正确答案

9；3

解析

略

知识点

平面向量数量积的运算由递推关系式求数列的通项公式

题型：填空题

填空题 · 5 分

设数列共有项,且，对于每个均有。

（1）当时，满足条件的所有数列的个数为___________;

（2）当时，满足条件的所有数列的个数为___________;

正确答案

（1）3个；（2）393个

解析

（1）当时，因为，，

所以，，所以或或

所以满足条件的所有数列的个数为3个；

（2）令，则对每个符合条件的数列满足条件

，且

反之符合上述条件的7项数列，可唯一确定一个符合条件的8项数列

记符合条件的数列的个数为

显然中有个2，个，个1

当给定时，的取法有种，易得的可能值为0,1,2,3

故,

所以满足条件的所有数列的个数为393个

知识点

由递推关系式求数列的通项公式组合及组合数公式

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