抛物线的定义及应用
共187题

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抛物线的定义及应用
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题型：填空题

填空题 · 4 分

11．设是抛物线上的一点，是抛物线上的任意两点，分别是的斜率，若，则的坐标为__________

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题型：简答题

简答题 · 13 分

19．已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求的标准方程；

（2）过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，与轴交于点，

若,,求证：为定值。

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知识点

椭圆的定义及标准方程抛物线的定义及应用圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

13. 已知抛物线的准线与双曲线相切，则双曲线的离心率（）

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题型：单选题

单选题 · 5 分

9．定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（　　）

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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。

（1）若定义在上的函数大小；

（2）给定两个函数：证明：

（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m，n满足，求m+n的最大值。

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题型：填空题

填空题 · 5 分

14．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．

正确答案

y=x

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题型：简答题

简答题 · 12 分

16．设是公差大于零的等差数列，已知，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前n项和．

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抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程．

（1）若点为抛物线准线上一点，点、均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明．

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，试写出（请简要说明理由）；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式．

正确答案

（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：

（2）依题意，

随着的增大，点无限接近点

（方法二）∴是以为首项，为公比的等差数列，∴，

又，

∴，

于是，当为偶数时，

当为奇数时，

∴

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分组转化法求和数列的极限数列与解析几何的综合抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

20. 已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.

① 若直线垂直于轴，求的大小;

② 若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。

正确答案

（1）设椭圆的标准方程为，且.

由题意可知：，.

解得.

∴ 椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得.设.

①当直线垂直于轴时，直线的方程为.

由解得：或

即（不妨设点在轴上方）.

则直线的斜率，直线的斜率.

∵ ，得 .

∴ .

②当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.

由消去得：.

因为点在椭圆的内部，显然.

因为，，，

所以

∴ . 即为直角三角形.

假设存在直线使得为等腰三角形，则.

取的中点，连接，则.

记点为.

另一方面，点的横坐标，

∴点的纵坐标.

又

故与不垂直，矛盾.

所以当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.

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题型：填空题

填空题 · 4 分

9．已知圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为_____________．

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