抛物线的定义及应用
共187题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。

正确答案

-4

解析

因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.

由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

设为抛物线 ()的焦点，为该抛物线上三点，若，且

（1）求抛物线的方程；

（2）点的坐标为(,)其中，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为，若，求的值。

正确答案

（1）y2=4x（2）4

解析

（1）设,,

则…2分

，所以。

…………………………4分

所以，所以为所求。 ……………………… 5分

（2）设,,,

则，同理……………………7分

所以

设AC所在直线方程为，

联立得，，所以，…………………9分

同理，。

所以 ……………………………………11分

设AB所在直线方程为，联立得，，

所以 ……………………………………12分

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于、两点，以为

直径的圆与的准线有公共点，若点的纵坐标为，则的值为

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，。

（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设，则切线的方程为，

所以，，，所以，

所以为等腰三角形，且为中点，所以，，，得，抛物线方程为 ……………… 4分

（2）设，则处的切线方程为

由，

同理，……………………………………………………6分

所以面积……① ……8分

设的方程为，则

由，得代入①得：

，使面积最小，则

得到…………② 令，

②得，，

所以当时单调递减；当单调递增，

所以当时，取到最小值为，此时，，

所以，即。……………………………………………………12分

知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为　　。

正确答案

解析

解析 : 由题意，设C（x0，y0），则⊙C的方程（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=x02+（y0﹣p）2。

把y=0和x02=2py0代入整理得x2﹣2x0x+x02+p2=0。

设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1=x0﹣p，x2=x0+p，∴|MN|=|x1﹣x2|=2p。

∵|CM|=|CN|==

∴=1﹣∴﹣1≤cos∠MCN＜1，

∵ 0＜∠MCN＜π∴ 0＜sin∠MCN≤1，

∴ sin∠MCN的最大值为1故答案为：1

知识点

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