热门试卷

（1）函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)。

（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.

当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.

因为x1＜x2＜0，

所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1.

所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.

因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即且时等号成立。

所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.

（3）当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.

当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x12＋a.

当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.

两切线重合的充要条件是

由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0.

由①②得，a＝x12＋－1＝x12－ln(2x1＋2)－1.

设h(x1)＝x12－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)，

则h′(x1)＝2x1－＜0.

所以，h(x1)(－1＜x1＜0)是减函数。

则h(x1)＞h(0)＝－ln 2－1，

所以a＞－ln 2－1.

又当x1∈(－1,0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，

所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)。

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)。

（1）因，故，

令，得，由已知，解得

又令，得，由已知，解得

因此，从而

又因为，故曲线在点处的切线方程为，即

（2）由（1）知，，从而有，

令，解得。

当时，，故在为减函数，

当时，，故在为增函数，

当时，，故在为减函数，

从而函数在处取得极小值，在出取得极大值