导数的几何意义
共149题

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导数的几何意义
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题型：填空题

填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

题型：填空题

填空题 · 5 分

曲线在点处的切线方程为__________。

正确答案

解析

求导得,,由直线的点斜式方程得,整理得.

知识点

导数的几何意义导数的运算

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足.

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q(x0，y0)(－2＜x0＜2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l，问：是否存在定点P(0，t)(t＜0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，

得，

＝(x，y)·(0,2)＝2y，

由已知得，

化简得曲线C的方程：x2＝4y.

（2）假设存在点P(0，t)(t＜0)满足条件，

则直线PA的方程是，PB的方程是y＝x＋t.

曲线C在点Q处的切线l的方程是，它与y轴的交点为F(0，)。

由于－2＜x0＜2，因此－1＜＜1.

①当－1＜t＜0时，，存在x0∈(－2,2)，使得，即l与直线PA平行，故当－1＜t＜0时不符合题意。

②当t≤－1时，，，

所以l与直线PA，PB一定相交。

分别联立方程组和

解得D，E的横坐标分别是，，

则xE－xD＝(1－t)，

又|FP|＝－－t，有S△PDE＝·|FP|·|xE－xD|＝，

又，

于是·

＝.

对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，即只须t满足

解得t＝－1.此时，

故存在t＝－1，使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2.

知识点

导数的几何意义抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系直接法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

（1）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；

（2）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；

（3）对（2）中的和任意的，证明：

正确答案

见解析。

解析

（1），

由已知得解得，

∴ 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为，

∴ 切线的方程为

（2）由条件知

∴

（ⅰ）当a>0时，令，解得，

∴ 当时，在上递减；

当时，在上递增

∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点

∴最小值

（ⅱ）当时，在上递增，无最小值，

故的最小值的解析式为

（3）由（2）知

对任意的

①

②

③

故由①②③得

知识点

函数恒成立问题导数的几何意义导数的运算不等式的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

设，集合,.

（1）求集合(用区间表示）；

（2）求函数在内的极值点。

正确答案

（1）

（2）当时,极值点为；当时,极值点为；当时,无极值点。

解析

（1）由方程得判别式

因为,所以

当时,,此时,所以；

当时,,设方程的两根为且,

则 ,,

当时,,,所以

此时,

当时,,所以

此时,.

综上,

（2） ,

所以函数在区间上为减函数,在区间和上为增函数

当时,因为,所以在内的极值点为；

当时,,所以在内有极大值点；

当时,

由,很容易得到

（可以用作差法，也可以用分析法）,所以在内有极大值点；

当时,

由,很容易得到,此时在,内没有极值点。

综上,当时,极值点为；当时,极值点为；当时,无极值点。

知识点

交集及其运算导数的几何意义导数的运算

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