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对一切恒成立，即恒成立，也即恒成立，

设，则，令得，

当时，所以在区间上单调递减；

当时，所以在区间上单调递增；

因为，且当时，，所以

，

因此恒成立，当且仅当，解得，，

故实数a的取值范围是。

（I）解：由=，可得==，其中，且.

下面分两种情况讨论：

（1）当为奇数时.

令=0，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

-

+

-

所以，在，上单调递减，在内单调递增。（2）当为偶数时.

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

所以，在上单调递增，在上单调递减.

（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.

由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.

（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.

类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.

设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.

由此可得.

因为，所以，故.

所以，.

（Ⅰ）由题意知 函数的定义域为，

，

令，

（1）当时，，

此时，函数在单调递增，无极值点；

（2）当时，，

①当时，，,

，函数在单调递增，无极值点；

②当时，，

设方程的两根为，

因为，

所以，

由 ，可得，

所以 当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

因此 函数有两个极值点。

（3）当时，，

由，可得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

所以函数有一个极值点。

综上所述：

当时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；

当时，函数有两个极值点。

（II）由（I）知，

（1）当时，函数在上单调递增，

因为 ，

所以 时，，符合题意；

（2）当时，由，得，

所以 函数在上单调递增，

又，所以时，，符合题意；

（3）当时，由，可得，

所以时，函数单调递减；

因为，

所以时，，不合题意；

（4）当时，设，

因为时，

所以 在上单调递增。

因此 当时，，

即，

可得 ，

当时，，

此时 ，不合题意，

综上所述，的取值范围是