导数的几何意义_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知函数，，设函数，且函数的零点都在区间内，则的最小值为

A6

B7

C9

D10

正确答案

A

解析

由题意，得，则在上单调递增，在上单调递减，且，，即函数的一个零点，又，因为

，则，所以，即函数的一个零点，则的零点；易知函数为偶函数，且，则，即在上单调递增，且，即在存在函数的一个零点，则的零点，则的零点；则的零点，因为，则，即；所以选A选项.

考查方向

本题主要考查了函数的导数、函数的零点，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，常与数列、不等式等知识交汇命题.

解题思路

1)求导，判断两函数的单调性；

2)利用零点存在定理得到两函数的零点所在区间；

3)求函数的零点所在区间.

易错点

本题易在判断两函数的单调性时出现错误，易忽视“利用导数的符号确定函数的单调性”.

知识点

导数的几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．设函数在其定义域D上的导函数为，如果存在实数和函数，其中对任意的，都有，使得则称函数具有性质，给出下列四个函数：

①； ②；

③； ④

其中具有性质的函数为(　　)

A① ② ③

B① ② ④

C② ③ ④

D① ③ ④

正确答案

A

解析

①,其中h(x)=1,a=2; ②, a=2; ③,a=2; ④,显然不具有的性质.所以答案选择A.

考查方向

本题重点考查函数的导数，以及函数的新信息问题

解题思路

分别对函数求导，变形与的性质对比。

易错点

不理解函数新信息的性质而出错

知识点

函数性质的综合应用导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

19.已知函数（a，bR）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≤2，求|a|＋|b|的最大值.

正确答案

（1）详见解析；（2）3；

解析

试题分析：(1)分析题意可知在上单调，从而可知M（a，b）=max,分类讨论a的取值范围即可求解；(2)分析题意可知|a|+|b|=,再由M(a,b) ≤2可得|1+a+b|=|f（1）|2,|1-a+b|=f(1) 2,即可求证.

(1)由f(x)= ,得对称轴为直线，由|a|2，得，故f(x)在上单调，∴M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|},当a2时，由f(1)-f(-1)=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2,即M(a,b) 2,当a-2时，由f（-1）-f（1）=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2，即M(a,b) 2,综上，当|a|2时，M（a,b）2；

(2)由M（a,b）2得|1+a+b|=f(1) 2,|1-a+b|=|f(1)| 2，故|a+b|3,且在上的最大值为2，即M（2，-1）=2，∴|a|+|b|3，当a=2，b=-1时，|a|+|b|=3，且在上的最大值为2，即M（2，-1）=2，∴|a|+|b|的最大值为3.

考查方向

本题考查了二次函数在闭区间上求最值，分类讨论思想的应用，属于中等题．

解题思路

(1)根据a的取值范围，得到函数在[－1，1]上的单调性，分类讨论证得结论；(2)由题中给出的新定义进行求解．

易错点

二次函数在闭区间上的单调性.

知识点

函数的单调性及单调区间导数的几何意义不等式与函数的综合问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）

设函数

23.若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；

24.若在上为减函数，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，切线方程为.

解析

试题分析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程．

试题解析：（1）对求导得

因为在处取得极值，所以，即.

当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得

考查方向

复合函数的导数，函数的极值，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

解题思路

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法.

易错点

极值的几何意义．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．

试题解析：（2）由（1）得，,

令

由，解得.

当时，,故为减函数；

当时，,故为增函数；

当时，,故为减函数；

由在上为减函数，知，解得

故a的取值范围为.

考查方向

复合函数的导数，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

解题思路

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；

易错点

本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数

27.设

28.证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.【考查方向】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解析

由已知，函数的定义域为，

，

所以.

当时，在区间上单调递增，

在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递增.

解题思路

首先对函数求导，得，然后再求导得.利用导数的符号即得其单调性.此题分和两种情况讨论.

易错点

不会确定分类的标准导致出错或不分类；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

由，解得.

令.

则，.

故存在，使得.

令，.

由知，函数在区间上单调递增.

所以.

即.

当时，有，.

由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；

当时，有，从而；

所以，当时，.

综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

考查方向

本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解题思路

要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0.所以我们应考虑求的极小值.由，解得，代入得.是否存在令使得呢？为此，令.

因为，故存在，使得.接下来的问题是，此时的是否满足呢？令.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.

当时，有.由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；当时，有，从而；所以，当时，.

易错点

找不到解决问题的思路导致无法入手。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．曲线f（x）＝－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为

A（1，3）

B（－1，3）

C（1，3）和（－1，3）

D（1，－3）

正确答案

C

解析

考查方向

本题考察了导数的几何意义，比较简单

解题思路

1）对曲线函数求导，

2）求设点P(x,y)出的导函数值等于2 求出切点的横坐标，进而得出选项

易错点

主要易错于求导出错

知识点

导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数f（x）＝．

25.若m∈（－2，2），求函数y＝f（x）的单调区间；

26.若m∈（0，]，则当x∈[0，m＋1]时，函数y＝f（x）的图象是否总在直线y＝x上方?请写出判断过程．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（1）函数定义域为

①

②

③

综上所述，①

②

③

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用

解题思路

本题解题思路

1）借助导函数的性质，直接得出单调区间，这里特别主要零点的位置需要讨论，

2）根据第一问结论得到转换恒成立

3）构造新函数，求

易错点

本题易错在函数分类讨论不清，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）当时，由（1）知

令.

①当时，，所以函数图象在图象上方.

②当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，

其中，

令，，令，则

因所以，单调递增；

所以，故存在

使得

所以在上单调递减，在单调递增

所以

所以时，即也即

所以函数f(x)的图象总在直线上方.

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用

解题思路

本题解题思路

1）借助导函数的性质，直接得出单调区间，这里特别主要零点的位置需要讨论，

2）根据第一问结论得到转换恒成立

3）构造新函数，求

易错点

本题易错在函数分类讨论不清，

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知函数，当时，.若函数有唯一零点，则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由知当时有即，由函数有唯一零点知使得，令h(x)=ax+a,在同一直角坐标系中作出f(x)和h(x)的图像（如图）y=ax+a的图像恒过定点（-1，0），由图可知

因此A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了函数的零点问题,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与参数结合在一起考查，根据零点个数求参数的取值范围。

解题思路

由已知求出f(x)的解析式，由函数有唯一零点知使得，令h(x)=ax+a,在同一直角坐标系中作出f(x)和h(x)的图像，从而求出它们仅有一个交点时的a的取值范围。

易错点

1、不会求f(x)的表达式，2，不能通过图像法去理解两个函数的交点个数问题。

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数．

26.若函数在x＝0处的切线也是函数图象的一条切线，求实数a的值；

27.若函数的图象恒在直线的下方，求实数a的取值范围；

28.若，且，判断与的大小关系，并说明理由．

注：题目中e＝2.71828…是自然对数的底数．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅰ），在x＝0处切线斜率k＝，切线l：，

又，设l与相切时的切点为，则斜率，

则切线l的方程又可表示为，

由解之得a＝．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

a＝．

（Ⅱ）由题对于x＞0恒成立，即对于x＞0恒成立，

令，则，由得，

则当x＞0时，，

由，得，即实数a的取值范围是．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）＞.

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅲ）＞．理由如下：

由题，由得，

当＜x＜a时，，单调递减，

因为，所以，即，

所以， ①

同理， ②

①＋②得，

因为，

由得，即，

所以，即，

所以＞．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数，曲线在点处的切线方程为.

25.求的解析式；

26.证明：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）的解析式为；

解析

试题分析：本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅰ）因为，所以，所以

又点在切线上，所以，所以

所以的解析式为.

考查方向

本题考查了函数与导数的综合应用及不等式的证明

解题思路

（1）利用导数解决曲线的切线问题，从而解出a,b的值

（2）通过构造新函数的方法找到证明不等式的突破口。

易错点

不等式证明如何构造新函数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）对任意，.

解析

试题分析：本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅱ）令

因为所以当时，

所以在区间内单调递减，所以所以等价于.

我们如果能够证明，即即可证明目标成立.

下面证明：对任意，.

由（1）知，令

则，所以在内单调递增，

又，，所以存在使得.

当时，即，此时单调递减；

当时，即，此时单调递增；

所以.由得[

所以.

令，则

所以在区间内单调递减，所以

所以.

综上，对任意，.

考查方向

本题考查了函数与导数的综合应用及不等式的证明

解题思路

（1）利用导数解决曲线的切线问题，从而解出a,b的值

（2）通过构造新函数的方法找到证明不等式的突破口。

易错点

不等式证明如何构造新函数

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