导数的几何意义_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知函数，，设函数，且函数的零点都在区间内，则的最小值为

A6

B7

C9

D10

正确答案

A

解析

由题意，得，则在上单调递增，在上单调递减，且，，即函数的一个零点，又，因为

，则，所以，即函数的一个零点，则的零点；易知函数为偶函数，且，则，即在上单调递增，且，即在存在函数的一个零点，则的零点，则的零点；则的零点，因为，则，即；所以选A选项.

考查方向

本题主要考查了函数的导数、函数的零点，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，常与数列、不等式等知识交汇命题.

解题思路

1)求导，判断两函数的单调性；

2)利用零点存在定理得到两函数的零点所在区间；

3)求函数的零点所在区间.

易错点

本题易在判断两函数的单调性时出现错误，易忽视“利用导数的符号确定函数的单调性”.

知识点

导数的几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．设函数在其定义域D上的导函数为，如果存在实数和函数，其中对任意的，都有，使得则称函数具有性质，给出下列四个函数：

①； ②；

③； ④

其中具有性质的函数为(　　)

A① ② ③

B① ② ④

C② ③ ④

D① ③ ④

正确答案

A

解析

①,其中h(x)=1,a=2; ②, a=2; ③,a=2; ④,显然不具有的性质.所以答案选择A.

考查方向

本题重点考查函数的导数，以及函数的新信息问题

解题思路

分别对函数求导，变形与的性质对比。

易错点

不理解函数新信息的性质而出错

知识点

函数性质的综合应用导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

19.已知函数（a，bR）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≤2，求|a|＋|b|的最大值.

正确答案

（1）详见解析；（2）3；

解析

试题分析：(1)分析题意可知在上单调，从而可知M（a，b）=max,分类讨论a的取值范围即可求解；(2)分析题意可知|a|+|b|=,再由M(a,b) ≤2可得|1+a+b|=|f（1）|2,|1-a+b|=f(1) 2,即可求证.

(1)由f(x)= ,得对称轴为直线，由|a|2，得，故f(x)在上单调，∴M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|},当a2时，由f(1)-f(-1)=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2,即M(a,b) 2,当a-2时，由f（-1）-f（1）=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2，即M(a,b) 2,综上，当|a|2时，M（a,b）2；

(2)由M（a,b）2得|1+a+b|=f(1) 2,|1-a+b|=|f(1)| 2，故|a+b|3,且在上的最大值为2，即M（2，-1）=2，∴|a|+|b|3，当a=2，b=-1时，|a|+|b|=3，且在上的最大值为2，即M（2，-1）=2，∴|a|+|b|的最大值为3.

考查方向

本题考查了二次函数在闭区间上求最值，分类讨论思想的应用，属于中等题．

解题思路

(1)根据a的取值范围，得到函数在[－1，1]上的单调性，分类讨论证得结论；(2)由题中给出的新定义进行求解．

易错点

二次函数在闭区间上的单调性.

知识点

函数的单调性及单调区间导数的几何意义不等式与函数的综合问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分）

设函数

23.若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；

24.若在上为减函数，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，切线方程为.

解析

试题分析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程．

试题解析：（1）对求导得

因为在处取得极值，所以，即.

当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得

考查方向

复合函数的导数，函数的极值，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

解题思路

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法.

易错点

极值的几何意义．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．

试题解析：（2）由（1）得，,

令

由，解得.

当时，,故为减函数；

当时，,故为增函数；

当时，,故为减函数；

由在上为减函数，知，解得

故a的取值范围为.

考查方向

复合函数的导数，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．

解题思路

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；

易错点

本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数

27.设

28.证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.【考查方向】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解析

由已知，函数的定义域为，

，

所以.

当时，在区间上单调递增，

在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递增.

解题思路

首先对函数求导，得，然后再求导得.利用导数的符号即得其单调性.此题分和两种情况讨论.

易错点

不会确定分类的标准导致出错或不分类；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

由，解得.

令.

则，.

故存在，使得.

令，.

由知，函数在区间上单调递增.

所以.

即.

当时，有，.

由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；

当时，有，从而；

所以，当时，.

综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

考查方向

本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解题思路

要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0.所以我们应考虑求的极小值.由，解得，代入得.是否存在令使得呢？为此，令.

因为，故存在，使得.接下来的问题是，此时的是否满足呢？令.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.

当时，有.由（1）知，函数在区间上单调递增.

故当时，有，从而；当时，有，从而；所以，当时，.

易错点

找不到解决问题的思路导致无法入手。

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正确答案

解析

考查方向

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