导数的几何意义_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．曲线f（x）＝－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为

A（1，3）

B（－1，3）

C（1，3）和（－1，3）

D（1，－3）

正确答案

C

解析

考查方向

本题考察了导数的几何意义，比较简单

解题思路

1）对曲线函数求导，

2）求设点P(x,y)出的导函数值等于2 求出切点的横坐标，进而得出选项

易错点

主要易错于求导出错

知识点

导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数f（x）＝．

25.若m∈（－2，2），求函数y＝f（x）的单调区间；

26.若m∈（0，]，则当x∈[0，m＋1]时，函数y＝f（x）的图象是否总在直线y＝x上方?请写出判断过程．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（1）函数定义域为

①

②

③

综上所述，①

②

③

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用

解题思路

本题解题思路

1）借助导函数的性质，直接得出单调区间，这里特别主要零点的位置需要讨论，

2）根据第一问结论得到转换恒成立

3）构造新函数，求

易错点

本题易错在函数分类讨论不清，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）当时，由（1）知

令.

①当时，，所以函数图象在图象上方.

②当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，

其中，

令，，令，则

因所以，单调递增；

所以，故存在

使得

所以在上单调递减，在单调递增

所以

所以时，即也即

所以函数f(x)的图象总在直线上方.

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用

解题思路

本题解题思路

1）借助导函数的性质，直接得出单调区间，这里特别主要零点的位置需要讨论，

2）根据第一问结论得到转换恒成立

3）构造新函数，求

易错点

本题易错在函数分类讨论不清，

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知函数，当时，.若函数有唯一零点，则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由知当时有即，由函数有唯一零点知使得，令h(x)=ax+a,在同一直角坐标系中作出f(x)和h(x)的图像（如图）y=ax+a的图像恒过定点（-1，0），由图可知

因此A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了函数的零点问题,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与参数结合在一起考查，根据零点个数求参数的取值范围。

解题思路

由已知求出f(x)的解析式，由函数有唯一零点知使得，令h(x)=ax+a,在同一直角坐标系中作出f(x)和h(x)的图像，从而求出它们仅有一个交点时的a的取值范围。

易错点

1、不会求f(x)的表达式，2，不能通过图像法去理解两个函数的交点个数问题。

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数．

26.若函数在x＝0处的切线也是函数图象的一条切线，求实数a的值；

27.若函数的图象恒在直线的下方，求实数a的取值范围；

28.若，且，判断与的大小关系，并说明理由．

注：题目中e＝2.71828…是自然对数的底数．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅰ），在x＝0处切线斜率k＝，切线l：，

又，设l与相切时的切点为，则斜率，

则切线l的方程又可表示为，

由解之得a＝．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）；

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

a＝．

（Ⅱ）由题对于x＞0恒成立，即对于x＞0恒成立，

令，则，由得，

则当x＞0时，，

由，得，即实数a的取值范围是．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）＞.

解析

试题分析：本题属于函数与导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）按照解题步骤求解，（2）要注意转化思想的应用；

（Ⅲ）＞．理由如下：

由题，由得，

当＜x＜a时，，单调递减，

因为，所以，即，

所以， ①

同理， ②

①＋②得，

因为，

由得，即，

所以，即，

所以＞．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式中的应用，导数的考查主要分以下几类：1.导数的几何意义，2.利用导数研究函数的单调性，3.利用导数研究不等式恒成立或解的存在性问题..

解题思路

本题考查导数的几何意义和导数的应用，解题步骤如下：

1）求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，利用切线相同进行求解；

2）作差，将问题转化为不等式恒成立问题；

3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；

4）利用前一步的结论合理赋值进行求解。

易错点

1）不能正确求导；

2）不能合理转化或赋值.

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数，曲线在点处的切线方程为.

25.求的解析式；

26.证明：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）的解析式为；

解析

试题分析：本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅰ）因为，所以，所以

又点在切线上，所以，所以

所以的解析式为.

考查方向

本题考查了函数与导数的综合应用及不等式的证明

解题思路

（1）利用导数解决曲线的切线问题，从而解出a,b的值

（2）通过构造新函数的方法找到证明不等式的突破口。

易错点

不等式证明如何构造新函数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）对任意，.

解析

试题分析：本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅱ）令

因为所以当时，

所以在区间内单调递减，所以所以等价于.

我们如果能够证明，即即可证明目标成立.

下面证明：对任意，.

由（1）知，令

则，所以在内单调递增，

又，，所以存在使得.

当时，即，此时单调递减；

当时，即，此时单调递增；

所以.由得[

所以.

令，则

所以在区间内单调递减，所以

所以.

综上，对任意，.

考查方向

本题考查了函数与导数的综合应用及不等式的证明

解题思路

（1）利用导数解决曲线的切线问题，从而解出a,b的值

（2）通过构造新函数的方法找到证明不等式的突破口。

易错点

不等式证明如何构造新函数

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