导数的几何意义_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．

25.试讨论f（x）的单调性；

26.若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

解析

（1）∵f（x）=x3+ax2+b，

∴f′（x）=3x2+2ax，

令f′（x）=0，可得x=0或﹣．

a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；

a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

考查方向

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

解题思路

（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；

易错点

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，分类讨论中易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

c=1

解析

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，

∵b=c﹣a，

∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．

设g（a）=﹣a+c，

∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，

∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，

∴c=1，

此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，

∵函数有三个零点，

∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，

∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，

解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

综上c=1．

考查方向

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

解题思路

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．

易错点

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，在用范围的过程中易错.

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．

25.试讨论f（x）的单调性；

26.若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

解析

（1）∵f（x）=x3+ax2+b，

∴f′（x）=3x2+2ax，

令f′（x）=0，可得x=0或﹣．

a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；

a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

考查方向

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

解题思路

（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；

易错点

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，分类讨论中易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

c=1

解析

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，

∵b=c﹣a，

∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．

设g（a）=﹣a+c，

∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，

∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，

∴c=1，

此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，

∵函数有三个零点，

∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，

∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，

解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

综上c=1．

考查方向

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

解题思路

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．

易错点

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，在用范围的过程中易错.

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．设定义在上的函数满足，，则（）

A有极大值，无极小值

B有极小值，无极大值

C既有极大值，又有极小值

D既无极大值，也无极小值

正确答案

D

解析

f(x)的定义域为

因为

所以

所以所以

所以

所以f(x)在区域内单调递增，所以既无极大值也无极小值

考查方向

利用导数求函数的极值

解题思路

先求定义域，然后求导，然后判断函数单调性

然后求出函数的极值

易错点

求导错误，判断极值时错误

教师点评

有极大值不一定有最大值，有最大值也不一定有极大值

知识点

导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数.

25.当时，证明：；

26.当，且时，不等式成立，求实数k的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

令．

，则在上是增函数．

故，即命题结论成立

解析

参见答案，注意适当的放缩不等式。

考查方向

不等式、函数、导数结合题，利用导数判断函数的单调性，进而证明不等式

解题思路

先构造正确的函数，然后对函数求导，求导后求出函数的单调区间，利用函数的单调性证明不等式。

易错点

不能够造出正确的函数，求导错误，算单调区间错误。

教师点评

本题的关键在于构造出正确的函数，然后求导利用函数单调性方可证明不等式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，，;
当时，，

所以，原不等式可化为．

令．

令

当时，有．

令，则，故在上是减函数，即．

因此在上是减函数，从而，

所以，当时，对于，有

当时，有．

令，则，故在上是增函数，即．

因此，在上是减函数，从而，．

所以，当时，对于有

综上，当时，在，且时，不等式成立．

解析

详见答案，构造不等式函数时要适当

考查方向

函数导数不等式的综合题，不等式恒成立求参数的取值范围

解题思路

根据x的不同取值，将不等式化简变形，够造出新的函数，然后求导判断单调区间，利用单调性证明不等式，利用不等式恒成立，再讨论参数K的取值范围。

易错点

分类讨论有重复或有遗漏，计算错误。判断函数符号错误

教师点评

主要是构造出正确的不等式（函数）形式，本题的难点在于分类讨论时，要综合考虑所有的情况。

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数，直线为曲线的切线．

25.求实数的值；

26.用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（1）对求导得，

设直线与曲线切于点，则

，

解得．所以的值为1．

考查方向

导数的几何意义利用导数求曲线的切线

解题思路

对求导得到导函数，然后联立方程，求解方程，进而得到参数的值

易错点

求导错误，想不到利用导数求曲线的切线

教师点评

导数是求曲线的切线的一个工具

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（2）记函数，下面考察函数的符号．

对函数求导得．

当时恒成立．

当时，，

从而．

∴在上恒成立，故在上单调递减．

∵，∴．

又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知

惟一的，使

∴．

∴，

从而

∴

由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．

①当时，在上恒成立，即在上恒成立．

记，则，

当变化时，，变化情况如下表：

∴．

故“在上恒成立”只需，即．

②当时，，当时，在上恒成立．

综合（1）（2）知，当时，函数为增函数．

故实数的取值范围是．

考查方向

导数与函数的综合题，利用导数求函数的单调性

利用函数和导数证明不等式

解题思路

先利用导数判断函数的单调性及单调区间，利用函数的零点存在性定理及其单调性，分类讨论x的不同取值，进而判断实数C的取值范围

易错点

计算能力弱，求导错误，不能构造出恰当的函数

教师点评

这类题根据题意和已知条件，按逻辑分类讨论相关参数的值，最后综合所有出现的可能情况，得到答案

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正确答案

解析

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易错点

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易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

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教师点评

知识点

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解题思路

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易错点

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考查方向

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正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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