导数的几何意义
共149题

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导数的几何意义
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题型：填空题

填空题 · 5 分

抛物线在处的切线与轴及该抛物线所围成的图形面积为 .

正确答案

解析

:函数的导数为,即切线斜率为,所以切线方程为,即,令，得，作图可知，围成的图形是曲边梯形去掉一个直角三角形，

所求面积为.

知识点

导数的几何意义定积分的简单应用抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数满足如下条件：当时，，且对任意，都有。

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求当，时，函数的解析式；

（3）是否存在，，使得等式

成立？若存在就求出（），若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）时，，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为

，即。

（2）因为，

所以，当，时，，

。

（3）考虑函数，，，

则，

当时，，单调递减；

当时，；

当时，，单调递增；

所以，当，时，，

当且仅当时，。

所以，

而，

令，则，

两式相减得，

。

所以，，

故。

所以，。

当且仅当时，

。

所以，存在唯一一组实数，，

使得等式成立。

知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）求在上的最大值；

（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；

（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1），

令，解得（负值舍去），

由，解得。

（ⅰ）当时，由，得，

在上的最大值为。

（ⅱ）当时，由，得，

在上的最大值为。

（ⅲ）当时，在时，，在时，，

在上的最大值为。

（2）设切点为，则 …

由，有，化简得，

即或， ……………①

由，有，………②

由①、②解得或。 …

（3）当时，，

由（2）的结论直线为曲线的切线，

，点在直线上，

根据图像分析，曲线在直线下方。

下面给出证明：当时，。

，

当时，，即。

，

，。

要使不等式恒成立，必须。

又当时，满足条件，

且，

因此，的最小值为。

知识点

导数的几何意义不等式恒成立问题利用基本不等式求最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

设曲线在处的切线与抛物线在

的部分有两个交点，则实数的取值范围是，

正确答案

见解析

解析

，易知曲线在处的切线的斜率为，切点为，于是切线的方程为：，如13题解析图所示，切线应介于和平行的直线、之间，其中直线过点，直线和抛物线在的部分即弧相切，

易知直线的方程为：，

直线的方程为：，

故应有：，即，故应填或。

知识点

导数的几何意义直线与抛物线的位置关系

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，其中且.

（1）讨论的单调性；

(2) 若不等式恒成立，求实数取值范围；

（3）若方程存在两个异号实根，，求证：

正确答案

见解析。

解析

(１)的定义域为.

其导数

①当时,,函数在上是增函数;

②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,。

所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数.

(２)当时, 则取适当的数能使，比如取，

能使, 所以不合题意

当时，令,则

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于

在区间上,;在区间上,.

的最小值为,所以只需

即,,

(3)由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以

构造函数:()

所以函数在区间上为减函数. ,则,

于是,又,,由在上为减函数可知.即

知识点

函数单调性的判断与证明导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题不等式与函数的综合问题

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