导数的几何意义_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）

正确答案

－1

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域对数的运算性质导数的几何意义

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12.已知函数的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1, y1），N（x2, y2），就恒有的定值为y0，则y0的值为（）

正确答案

2

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数恒成立问题导数的几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．若曲线的一条切线l与直线垂直，则l的方程为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的一般式方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．设曲线在点（2，）处的切线与x轴交点的横坐标为an，则数列的前n项和为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

导数的几何意义导数的运算错位相减法求和数列与函数的综合

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

对求导得到，得到切线斜率为，切线方程为，设该切线与曲线的切点为,所以切线方程可以表示为

根据斜率相等，得到，即，所以，得到

分别令两个切线方程中的，得到，所以

将代入得到，下面就将问题转化为函数在上零点的区间问题。

在上成立，即在上是增函数。

根据答案中给出的几个端点，我们分别代入得到

所以得到正确答案为D

考查方向

本题主要考查导数的运用：利用导数求函数的单调区间和切线方程、函数与方程的转化思想以及函数零点存在性定理的运用，难度较大，属高考热点之一。高考中函数与导数的考题常会涉及函数的单调区间、求参数的取值范围，以及构造函数解决导数问题等等，难度一般较大，经常出现在选择题的最后一题。

解题思路

分别设两条曲线的切点坐标，然后得到切线方程，根据两条切线相同，得到两个切点之间的联系。然后根据再来列方程或不等式判断切点的范围。

易错点

直接利用切线斜率相等列方程但忽略了切点并不相同；

知识点

导数的几何意义导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)

A

B

C3

D0

正确答案

A

解析

对函数y＝ln(2x－1)求导得令，y＝ln(21－1)=0，故点离直线2x－y＋3＝0最近，由点到直线的距离求出为。故选A选项。

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义，同时考查了数形结合思想，此类题型在近几年的各省高考题经常出现，常考导数的几何意义及其应用。

易错点

在解题思想上的寻找上和对函数y＝ln(2x－1)求导上。

知识点

导数的几何意义两条平行直线间的距离

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．函数f（x）＝在点（0，f（0））处的切线方程是( )

Ax＋y＋1＝0

Bx＋y－1＝0

Cx－y＋1＝0

Dx－y－1＝0

正确答案

C

解析

。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查导数的几何意义

解题思路

1、求出f（x）的导数；

2、代入求值，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在求导数时发生错误，易用错运算法则。

知识点

导数的几何意义直线的一般式方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知函数．(Ⅰ)若直线与的反函数的图象相切，求实数k的值；(Ⅱ)设，且试比较三者的大小，并说明理由．

正确答案

(1)的反函数为设切点为则切线斜率为故

（2）不妨设令则所以在上单减，故取则令则在上单增，故取则综合上述知，

解析

反函数的应用很重要，学会灵活应用举一反三，导数的应用便于解决实际问题，利用导数求曲线的切线，导数与函数的单调性、最值，比较大小。

考查方向

利用导数求曲线的切线，导数与函数的单调性、最值，比较大小

解题思路

的反函数是，问题为求过原点所作曲线的切线的斜率，方法是设切点坐标为，由导数的几何意义可得解；（2）首先不妨设，要比较大小比较方便，只要作差，计算后因式分解可得

易错点

曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系

知识点

函数单调性的性质反函数导数的几何意义

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则．

正确答案

7

解析

由题可知：k=f’(2)=1,f(2)=6，所以7．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义

解题思路

本题考查导数的几何意义，解题思路如下：

1、利用导数的几何意义求出f’(2);

2、利用切线方程求解。

易错点

本题必须注意导数的几何意义

知识点

导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.已知函数，直线.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；

（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.

正确答案

（Ⅰ）所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.。

解析

（Ⅰ）解：函数定义域为，

求导，得，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，

设切点为，又因为，

所以切线满足斜率，且过点，

所以，

即，此方程显然无解，

所以假设不成立．

所以对于任意，直线都不是曲线的切线.

（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由方程，得.

令，则，其中，且.

考察函数，其中，

因为时，

所以函数在单调递增，且.

而方程中，，且.

所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，

故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.

考查方向

本题以导数性质的应用为背景，通过考查导数的几何意义即切线斜率，函数极值、判断函数图像与直线交点个数为载体，对学生综合运用函数与方程的思想、运用导数解决函数相关问题的能力进行较为全面的考查。为历届高考命题焦点，很好地体现了高考命题的精神和方向。

解题思路

1、第一问写出函数的定义域，求出导数，然后令导数等于零解方程，列表求极值。

2、第二问直接不易证明，可考虑使用反证法：假设存在某个，使得直线与曲线相切，然后可设出切点，利用切点处导数值为斜率与已知直线方程建立联系，从而推出矛盾进而得到证明。

3、判断曲线与直线的交点个数问题可以考虑通过函数的极值与直线的相对位置关系以及函数图像的特点采用数形结合的方法判断交点个数；也可以转化为方程判断根的个数进而确定图像交点的个数。由第一问可看出图像较复杂，采用数形结合的办法不容易解决，于是可考虑转化为判断方程根的个数来解决问题，通过分离参数k进一步转化为根的个数问题，再通过换元、构造新函数，根据其特点即可逐步解决问题。

易错点

第一问中不交待极大值不存在而失分或未考虑函数的定义域而出错；

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算

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解题思路

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