导数的几何意义_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 。

正确答案

知识点

导数的几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是

A(0,1)

B(0,2)

C(0,+∞)

D(1,+∞)

正确答案

A

知识点

导数的几何意义不等式的综合应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。

正确答案

知识点

导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数．

24.设，．求方程的根

25. 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

26.若，，函数有且只有1个零点，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，由可得，

则，即，则，；

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由题意得恒成立，

令，则由可得，

此时恒成立，即恒成立

∵时，当且仅当时等号成立，

因此实数的最大值为．

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，，

由，可得，令，则递增，

而，因此时，

因此时，，，则；

时，，，则；

则在递减，递增，因此最小值为，

① 若，时，，，则；

logb2时，，，则；

因此且时，，因此在有零点，

且时，，因此在有零点，

则至少有两个零点，与条件矛盾；

② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为，

可得，

由，

因此，

因此，即，即，

因此，则．

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数，

24.证明：当；

25.证明：当时，存在,使得对

26.确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）详见解析

解析

解法一：（1）令则有

当 ,所以在上单调递减；

故当时，即当时，．

考查方向

导数的综合应用．

解题思路

求导，然后分类讨论求单调性

易错点

导数和函数的关系掌握不牢，不会利用导数判断函数的单调性

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）详见解析

解析

（2）令

则有

当 ,所以在上单调递增,

故对任意正实数均满足题意.

当时，令得．

取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即.

综上，当时，总存在,使得对任意的恒有．

考查方向

导数的综合应用．

解题思路

先构造函数，然后求导判断单调区间，利用函数的单调性证明不等式。

易错点

不会构造函数，不会建立函数与导数之间的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）．

解析

（3）当时，由（1）知，对于故，

，

令，

则有

故当时，

,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.

当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有．

此时,

令，

则有

故当时，

,在上单调递增，

故,即,记与中较小的为，

则当，故满足题意的t不存在.

当，由（1）知，，

令，则有

当时，,所以在上单调递减，故,

故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.

综上，.

考查方向

导数的综合应用．

解题思路

分K大于1.K小于1和K等于1把不等式的左边去掉绝对值，然后再进行分类讨论，可得答案。

易错点

计算能力弱，求导分类讨论或重或漏

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 。

正确答案

知识点

导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数．

25.讨论的单调性；

26.证明当时，；

27.设，证明当时，.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；

解析

（I）由题设，的定义域为，，令，解得

当时，，单调递增；当时，，单调递减

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（I）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）（II）由（I）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，

，故当时，即。

解析

（II）由（I）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，

，故当时，即。

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

（II）左端等式可利用（I）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）（III）由题设，，则，令

解得；当，单调递增，当，，单调递减，由（II）知，，故，又，故当时，，所以当时，

解析

（III）由题设，，则，令

解得；当，单调递增，当，，单调递减，由（II）知，，故，又，故当时，，所以当时，

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

变形所证不等式构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理

易错点

对利用导数研究函数的单调性和不等式的证明与解法理解出现错误、计算错误

1

题型：单选题

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单选题 · 13 分

（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．

A

正确答案

A

考查方向

本题考查了利用导数研究 “过点问题”的切线方程求法，考查了导数综合运用中的“恒成立问题”，还考查了分类讨论、数形结合等数学思想方法的灵活应用，意在训练考生的运算能力，分析问题和解决问题的能力，较难。

易错点

1、第一问在对分类讨论求单调区间时由于比较繁琐而易出现错误。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的几何意义导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

18．已知函数，函数，其中．

（Ⅰ）如果函数与在处的切线均为，求切线的方程及的值；

（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围。

正确答案

（Ⅰ），；

（Ⅱ），或．

解析

试题分析：本题属于导数的应用的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意作差构造新函数

（Ⅰ）解：求导，得，，．

由题意，得切线l的斜率，即，解得．

又切点坐标为，所以切线l的方程为．

（Ⅱ）解：设函数，．

“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一

个零点”．

求导，得．

① 当时，

由，得，所以在单调递增．

又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．

②当时，

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

故有且仅有一个零点，符合题意．

③ 当时，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，．

因为，，且在上单调递增，

所以．

又因为存在，，

所以存在使得，

所以函数存在两个零点，1，与题意不符．

综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是，或

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的零点，导数作为一种工具，其应用主要分以下几类：

1．利用导数研究函数的单调性，

2．利用导数研究函数的极值、最值，

3．利用导数研究函数的零点个数，

4．利用导数研究不等式恒成立问题．

解题思路

本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的应用，解题步骤如下：

1．求导，利用导数的几何意义得到等式，求出值和切线方程；

2．作差构造函数，将问题转化为函数有且只有一个零点；

3．求导，通过导函数的符号研究函数的单调性与极值；

4．通过研究极值的符号得到答案．

易错点

忽视新函数的定义域

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义直线的一般式方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知函数（为自然对数的底数，为常数）在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）求的值及函数的极值；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有．

正确答案

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）见解析

解析

（Ⅰ）解,由，得．

因为,所以．

所以，．

令,得．

当时, 单调递减；当时, 单调递增．

所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值．

（Ⅱ）证明,令,则．

由（Ⅰ）得,故在R上单调递增．

所以当时，，即．

（Ⅲ）证明一,①若,则．

由（Ⅱ）知，当时，．所以当时, ．

取,当时，恒有．

②若,令,

要使不等式成立，只要成立．

而要使成立，则只要,只要成立．

令,则．

所以当时, 在内单调递增．

取,所以在内单调递增．

又，

易知．

所以．即存在,当时，恒有．

综上，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

证明二,对任意给定的正数，取，

由（Ⅱ）知，当时，，所以．

当时，．

因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

证明三,首先证明当时，恒有．

令，则．

由（Ⅱ）知，当时，，

从而，在上单调递减。

所以，即．

取，当时，有．

因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

考查方向

本题考查导数与函数极值问题。

解题思路

易错点

第一问建议做出极值表便于观察，防止出错；

第二问忽略证明第一问时得到的结论。

知识点

导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题

热门试卷

正确答案

知识点

正确答案

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解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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解题思路

易错点

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解题思路

易错点

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解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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