等差数列的性质及应用
共275题

· 等差数列的性质及应用

等差数列的性质及应用
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题型：填空题

填空题 · 5 分

设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝__________.

正确答案

解析

∵{an}，{bn}均是等差数列，根据等差数列的性质可得a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3，即a5＝2a3－a1，b5＝2b3－b1，

∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

正确答案

解析

考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，

所以。

知识点

导数的几何意义导数的运算等差数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等差数列满足：，，的前n项和为。

（1）求及；

(2) 令，求数列的前n项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）设等差数列的首项为，公差为d，

由于

所以

解得

由于

(2)因为所以

因此

故

所以数列的前n项和

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知a是给定的实常数，

设函数是的一个极大值点.

（1）求b的取值范围;

（2）设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？若存在，示所有的b及相应的若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）解：

令

则

于是可设是的两实根，且

1）当时，则不是的极值点，此时不合题意

2）当时，由于是的极大值点，

故即

即

所以

所以的取值范围是（-∞，）

（2）解：由（Ⅰ）可知，假设存了及满足题意，则

1）当时，则

于是

即

此时

或

2）当时，则

①若

于是

即

于是

此时

②若

于是

即

于是

此时

综上所述，存在满足题意

当

知识点

导数的几何意义导数的运算等差数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列的各项均为正数，记，，，

（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.

（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.

正确答案

见解析

解析

（1）对任意,三个数是等差数列，所以

即亦即故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是

（2）①必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有

由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.

②充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则，

于是得

即

由有即，从而.

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.

知识点

充要条件的判定等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明

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