等差数列的性质及应用
共275题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列是首项，公比为的等比数列，为数列的前n项和，又，常数，数列满足。

（1）若是递减数列，求的最小值；

（2）是否存在正整数k，使这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k，的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

（1）1（2）不存在适合题意

解析

解析：（1）由题意知，，，

∴， ∴，

是递减数列，

∴恒成立，即恒成立，

是递减函数，∴当时取最大值，

∴，又，∴， ………6分

（2）记，则，且，

，，

① 若是等比中项，则由得：

，化简得：，显然不成立.

② 若是等比中项，则由得：

，化简得：，显然不成立，

③ 若是等比中项，则由得：

，化简得：，

因为不是完全平方数，因而x的值是无理数，与矛盾，

综上：不存在适合题意. ………12分

知识点

等差数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数有两个不同的零点x1，x2，且方程有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为

D—

正确答案

解析

设两个根依次为，而函数的零点为,则由图象可得: ，∴可求

知识点

函数零点的判断和求解等差数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出元；③电力与机器保养等费用为元.其中是该厂生产这种产品的总件数。

（1）把每件产品的成本费(元)表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为（元），且，试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润。（总利润=总销售额-总的成本）

正确答案

见解析

解析

（1），

由基本不等式得：

当且仅当，即时等号成立，

所以，，每件产品的最低成本费为220元。

（2）设总利润元，则

所以

当时，，当时，，

所以在[1,100]上是增函数，在[100,170]上是减函数，

所以当时，函数取得最大值，

所以生产100件产品时，总利润最高，且最高利润为元。

知识点

等差数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

若sin2x、sinx分别是sinθ与cosθ的等差中项和等比中项，则cos2x的值为

正确答案

解析

依题意有， ①　　 ②

由①2-②×2得，，解得。

又由，得，所以不合题意。故选A

知识点

三角函数中的恒等变换应用等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

设等差数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，且，。

（1）求数列,的通项公式；

（2）设，求数列的前项和。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意，，得。

，，

，两式相减，得

数列为等比数列，。

（2）。

当为偶数时，

。

当为奇数时，

（法一）为偶数，

（法二）

。

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