热门试卷

（1）由得

即 解得

（2）由，从而，所以

于是

即，联立 解得或

（1）

线段上存在一点，且当时，∥面   ………………………………1分

证明如下：

设为的中点，连结，则∥

又因为，为的中点

所以∥，所以∥，………………4分

面，面，∥面…………………………………5分

（2）为的中点，,

为的中点，.

， ，面面，面

由此可以分别为轴，建立坐标系如图………………………………7分

因为面，所以，又，，

面，则为面的一个法向量。

因为，，所以，……………………………9分

又可得：，，所以，

设面的法向量为

由，即，令，则…11分

所以，故二面角的余弦值为………12分

（1）∵，

，

x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，

x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，

∴F（x）max=F（1）=2

（2）不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，

，，

∵，

∴，即 ，∴，

令，x∈（x1，+∞），只需证，

，令 ，则 ，G（x）在x∈（x1，+∞）单调递增。

G（x）＞G（x1）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x1，+∞）单调递增，H（x）＞H（x1）=0，

H（x）=（x+x1）ln﹣2（x﹣x1）＞0，∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2。

（1） 证明：取的中点，连结，

为的中点，，

平面，平面，

，，且，

从而为平行四边形， ………………………………………………3分

平面，平面，∴平面…………………………4分

（2） 证明：为等边三角形，为的中点，，

平面，平面，，又

平面…………………………………………………………………………6分

由 （1）知：，平面， 平面，

平面平面 …………………………………………………………………8分

（3） 解：

设，建立如图所示的坐标系，则，，，，，

∵为的中点，∴，，，

设平面的法向量为，

由可得：，令，则，取.

设和平面所成的角为，则

∴直线和平面所成角的正弦值为.   ……………………………………12分

（1）证法一： 平面，平面，  …………2分

又且为的中点， 平面， ………………4分

平面，  ……………………………………………………………………6分

证法二：

如图，以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，       …………………………2分

即   ………………6分

（2）解法一：

设平面的法向量为 ………7分

设平面的法向量为

由得,

解得,       …………………………9分

所以   ,  …………………11分

故平面与平面相交所成锐二面角的大小为.    …………………12分