空间图形的公理
共69题

· 空间图形的公理

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数有最小值。

（1）求实常数的取值范围；

（2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）……………………………………3分

所以，当时，有最小值，………………………………………3分

（2）由为奇函数，有，得。 ………………………2分

设，则，由为奇函数，得。 …4分

所以，…………………………………………………2分

知识点

空间图形的公理

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面。

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

（1）连接交于
∵∥平面，面，

面面 ,

∴∥又为的中点，

∴为中点∴为中点 ,

∴∴.

（2）∵在直三棱柱中， ,

∴ 。

以为坐标原点，以, 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。

由（1）知为中点,

∴点坐标分别为，，，。

设平面的法向量,

∵且,

∴取,∴ ,

同理,平面的法向量.

设二面角平面角为,

则，

∴ 。

知识点

空间图形的公理

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。

（1）设AD=x（x0）,ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；

（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明。

正确答案

见解析

解析

（1）在△ADE中，由余弦定理得：

，…………………………………………………………… 1分

又.  ………… 2分

把代入得，

∴……………………………………………………………………4分

∵ ∴

即函数的定义域为.…………………………………………………… 6分

（2）如果DE是水管，则，

当且仅当，即时“=”成立，故DE//BC,且DE=.……………… 8分

如果DE是参观线路，记，则

∴函数在上递减，在上递增

故. …………………………………………………………… 10分

∴.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.…………………………………………… 12分

知识点

空间图形的公理

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知为函数的一个极值点。

（1）求及函数的单调区间；

（2）若对于任意恒成立，求取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）

由得：

上单调递增，在(－1,1)上单调递减

（2）时，最小值为0

对恒成立，分离参数得：

易知：时

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°。

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD。

又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC。

（2）设AC∩BD＝O。因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝。

如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则

P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）。

所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）。

设PB与AC所成角为θ，则

………………8分

（3）由（2）知＝（－1，，0）。

设P（0，－，t）（t ＞0），则＝（－1，－，t）。

设平面PBC的法向量m＝（x，y，z），则·m＝0，·m＝0。

所以令y＝，则x＝3，z＝，所以m＝。

同理，可求得平面PDC的法向量n＝。

因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0。解得t＝。

所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA＝， ……………………12分

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