· 等差数列

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等差数列的判断与证明
共95题

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等差数列的判断与证明
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1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

对于数列，令为，，，中的最大值，称数列为的“创新数列”.例如数列，，，，的创新数列为，，，，.

定义数列：是自然数，，，，的一个排列。

（1）当时，写出创新数列为，，，，的所有数列；

（2）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，创新数列为，，，，的所有数列有两个，即数列，，，，；

数列，，，，.

（2）存在数列，使它的创新数列为等差数列。

数列的创新数列为，

因为是中的最大值，

所以.

由题意知，为中最大值，为中的最大值，

所以，且.

若为等差数列，设其公差为，

则且，

当时，为常数列，又，

所以数列为，，，.

此时数列是首项为的任意一个符合条件的数列；

当时，因为，所以数列为，，，，.

此时数列为，，，，；

当时，因为，[来源:学科网ZXXK]

又，，所以，这与矛盾，所以此时不存在，即不存在使得它的创新数列为公差的等差数列.

综上，当数列为以为首项的任意一个符合条件的数列或为数列，，，，时，它的创新数列为等差数列.

知识点

等差数列的判断与证明等差数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n。

（1）（2）证明：

正确答案

见解析。

解析

知识点

等差数列的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在等差数列中，，，则______；设，则数列的前项和 ______，

正确答案

，

解析

略

知识点

等差数列的判断与证明

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

各项均为正数且公差为1的等差数列，其前项和为，则（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

略

知识点

等差数列的判断与证明

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知数列{an}，,,记,，

,若对于任意,A(n)，B(n)，C(n)成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）求数列{|an|}的前n项和.

正确答案

见解析

解析

（1）根据题意A(n), B(n), C(n)成等差数列, ∴A(n)+ C(n)=2 B(n);

整理得 , ∴数列{an}是首项为,公差为3的等差数列.

∴;

（2）记数列的前n项和为Sn. 当时, ;

当时, ; 综上，.

知识点

等差数列的判断与证明

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