等差数列的判断与证明
共95题

· 等差数列的判断与证明

等差数列的判断与证明
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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知数列

（1）求证：数列是等差数列，并且求出通项公式；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）

故数列{bn}是等差数列 ………………………………3分

, ……………………7分

（2）由（1）

…………9分

又Sn是递增的，Sn的最小值是 …………11分

……………………13分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（　　）

正确答案

解析

设等差数列的公差为d

由题意可得，

解方程可得，d=1，a1=1

由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n

∴==

=1﹣=

故选A

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

数列{an}满足：∀n∈N*，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn=1+log2an，cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）当n=1时，a1=1

当n≥2时，an=（a1+a2+a3+…+an）﹣（a1+a2+a3+…+an﹣1）=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1

显然，n=1时，适合上式

所以数列{an}的通项公式an=2n

（2）∵bn=1+log2an=1+n﹣1=n

∴cn=n•2n﹣1

∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n﹣1①

2Tn=1×21+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n②

①﹣②得﹣Tn=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n×2n=

∴Tn=（n﹣1）2n+1

知识点

等差数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

在等差数列{an}中，若a3+a5+a7=9，则其前9项和S9的值为　。

正确答案

解析

在等差数列{an}中，若a3+a5+a7=9，故有 3a5 =9，a5 =3。

则其前9项和S9==9a5 =27，

故答案为 27，

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

在等比数列中，，，设，为数列的前项和。

（1）求和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

（1），（2）

解析

解析：（1）设的公比为，由得，

∴。 ---------------------------------- 2分

∴。

-------------------------------------5分

（2）

①当为偶数时，由恒成立得，恒成立，

即， ----------------------------------6分

而随的增大而增大，∴时，

∴； ----------------------------------8分

②当为奇数时，由恒成立得，恒成立，

即， -----------------------------------9分

而，当且仅当等号成立，

∴。 ---------------------------------------11分

综上，实数的取值范围. ----------------------------------------12分

知识点

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