• 直线方程和两条直线的位置关系
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,是等边三角形,D是BC的中点。

(1)求证:A1B//平面ADC1

(2)若AB=BB1=2,求A1D与平面AC1D所成角的正弦值。

正确答案

见解析

解析

(1)因为三棱柱是直三棱柱,所以四边形是矩形。

连结于O,则O是的中点,又D是BC的中点,所以在中,

因为平面平面,所以平面

(2)因为是等边三角形,D是BC的中点,所以。以D为原点,建立如图所示空间坐标系。由已知,得:

.

,设平面的法向量为

,得到,令,则,所以.

,得

所以

与平面所成角为,则

所以与平面所成角的正弦值为

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

直线与圆相交弦的长度为        。

正确答案

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,△中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上,半圆与分别相切于点,与交于点),将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;

(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积。

正确答案

(1)(2)

解析

(1)连接,则

,则

中,

所以,--------------------------(4分)

所以。-----------------(6分)

(2)中,,

,-------------------------------(8分)

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,直线与圆相切于点,割线经过圆心,弦于点,则   ,

正确答案

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

在△ BC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足BE=BD,延长AE交 BC于点F,则的值为  。

正确答案

解析

如图所示,

过点B作BM∥AC交BF的延长线于点M。

=,∴==

故答案为

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

直线的倾斜角的大小是____________。

正确答案

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

在△中,若,则             。

正确答案

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且,将角α的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点B,记A(x1,y1),B(x2,y2)。

(1)若,求x2

(2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D,记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2,若S1=2S2,求角α的值。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)解:由三角函数定义,得 x1=cosα,

因为 ,所以

所以

(2)解:依题意得 y1=sinα,, 所以

依题意S1=2S2 ,即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α,

整理得 cos2α=0。

因为 ,所以 ,所以 ,即

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

若圆的参数方程为为参数),则圆的圆心坐标为 ,圆与直线的交点个数为   .

正确答案

;  2

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上。

(1)证明:平面

(2)求平面与平面所成二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:在图甲中,易知,从而在图乙中有

因为平面平面,所以平面

(2)解法1、

如图,在图乙中作,垂足为,连接

由于平面,则

所以平面,则

所以平面与平面所成二面角的平面角,

图甲中有,又,则三点共线,

的中点为,则,易证,所以,

又由,得

于是,

中,,即所求二面角的余弦值为

解法2、

如图,在图乙中作,垂足为,连接,由于平面,则, 所以平面,则,图甲中有,又,则三点共线,

的中点为,则,易证,所以,则

又由,得

于是,

中,

于点,则,以点为原点,分别以所在直线为轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则,则(坐标系、坐标、向量各1分)    ……11分

显然,是平面的一个法向量,

是平面的一个法向量,则,即,不妨取,则

设平面与平面所成二面角为,可以看出,为锐角,所以,,所以,平面与平面所成二面角的余弦值为

知识点

直线的倾斜角与斜率
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