直线方程和两条直线的位置关系
共650题

直线方程和两条直线的位置关系
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题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点。

（1）求证：A1B//平面ADC1；

（2）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。

连结交于O，则O是的中点，又D是BC的中点，所以在中，。

因为平面，平面，所以平面。

（2）因为是等边三角形，D是BC的中点，所以。以D为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：

，，，.

则，，设平面的法向量为。

由，得到，令，则，，所以.

又，得。

所以

设与平面所成角为，则。

所以与平面所成角的正弦值为。

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：填空题

填空题 · 5 分

直线与圆相交弦的长度为。

正确答案

解析

略

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，△中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）连接，则，

设，则，

在中，，

所以，--------------------------（4分）

所以。-----------------（6分）

（2）中，，,，

，-------------------------------（8分）

。

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则，

正确答案

解析

略

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：填空题

填空题 · 5 分

在△ BC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD，延长AE交 BC于点F，则的值为　　。

正确答案

解析

如图所示，

过点B作BM∥AC交BF的延长线于点M。

则=，∴==。

故答案为。

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：填空题

填空题 · 4 分

直线的倾斜角的大小是____________。

正确答案

解析

略

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：填空题

填空题 · 5 分

在△中，若，则。

正确答案

解析

略

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记A（x1，y1），B（x2，y2）。

（1）若，求x2；

（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若S1=2S2，求角α的值。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，。

因为，，所以。

所以。

（2）解：依题意得 y1=sinα，，所以，

。

依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，

整理得 cos2α=0。

因为，所以，所以，即。

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：填空题

填空题 · 5 分

若圆的参数方程为（为参数），则圆的圆心坐标为　，圆与直线的交点个数为　 .

正确答案

； 2

解析

略

知识点

直线的倾斜角与斜率

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上。

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，

因为平面，平面，所以平面

（2）解法1、

如图,在图乙中作，垂足为，连接，

由于平面，则，

所以平面，则，

所以平面与平面所成二面角的平面角，

图甲中有，又，则三点共线，

设的中点为，则，易证，所以，，

又由，得，

于是，，

在中，，即所求二面角的余弦值为

解法2、

如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，

设的中点为，则，易证，所以，则；

又由，得，

于是，，

在中，

作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则（坐标系、坐标、向量各1分） ……11分

显然，是平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则，

设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为。

知识点

直线的倾斜角与斜率

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