- 直线方程和两条直线的位置关系
- 共650题
已知实数满足
,则
的最大值为 。
正确答案
解析
由柯西不等式,答案:
。
知识点
如图,平行四边形中,
,若
的面积等于1cm
,
则的面积等于 cm
。
正确答案
9
解析
显然与
为相似三角形,又
,所以
的面积等于9cm
。
知识点
直线(
为参数)的倾斜角的大小为()
正确答案
解析
略
知识点
直线的倾斜角的取值范围是( )
正确答案
解析
略
知识点
在四棱锥中,
//
,
,
,
平面
,
.
(1)设平面平面
,求证:
//
;
(2)求证:平面
;
(3)设点为线段
上一点,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值。
正确答案
见解析
解析
(1)证明: 因为//
,
平面
,
平面
,
所以//平面
.…………………2分
因为平面
,平面
平面
,
所以//
.…………………4分
(2)证明:因为平面
,
,所以以
为坐标原点,
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
. ……………………5分
所以 ,
,
,
所以,
.
所以 ,
.
因为 ,
平面
,
平面
,
所以 平面
.……………………9分
(3)解:设(其中
),
,直线
与平面
所成角为
.
所以 .
所以 .
所以 即
.
所以 .……………………11分
由(2)知平面的一个法向量为
.…………………12分
因为 ,
所以 .
解得 .
所以 . …………………14分
知识点
极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线=3的距离的最小值是 。
正确答案
1
解析
:圆ρ=2 即x2+y2=4,圆心为(0,0),半径等于2.
直线 =3即
ρsinθ+ρcosθ=6 即
y+x﹣6=0,
圆心到直线的距离等于 =3,故圆上的点到直线的距离的最小值为 3﹣2=1,
故答案为 1。
知识点
如图,直角梯形中,
,
,
,
,
,过
作
,垂足为
。
、
分别是
、
的中点。现将
沿
折起,使二面角
的平面角为
。
⑴求证:平面平面
;
⑵求直线与面
所成角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
⑴证明:DE
AE,CE
AE,
,
AE
平面
,
AE
平面
,
平面
平面
,
⑵(方法一)以E为原点,EA、EC分别为轴,建立空间直角坐标系
DE
AE,CE
AE,
是二面角
的平面角,即
=
,
,
,
A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,
,1)。
、
分别是
、
的中点,
F
,G
=
,
=
,
由⑴知是平面
的法向量,
设直线与面
所成角
,
则,
故求直线与面
所成角的正弦值为
,
(方法二)作,与
相交于
,连接
由⑴知AE平面
,所以
平面
,
是直线
与平面
所成角…
知识点
设地球半径为,北纬
圈上有
两地,它们的经度相差
,则这两地间的纬度线的长为 ,
正确答案
解析
略
知识点
如图, 中,侧棱与底面垂直,
,
,点
分别为
和
的中点。
(1)证明: ;
(2)求二面角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
(1)
如图所示,取A1B1的中点P,连接MP,NP。
又∵点M,N分别为A1B和B1C1的中点,∴NP∥A1C1,MP∥B1B,
∵NP⊂平面MNP,A1C1⊄平面MNP,∴NP∥平面A1ACC1;
同理MP∥平面A1ACC1;
又MP∩NP=P,
∴平面MNP∥平面A1ACC1;
∴MN∥平面A1ACC1;
(2)侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB,A1A⊥AC,及AB⊥AC,可建立如图所示的空间直角坐标系。
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),N(1,1,2),M(1,0,1)。
∴=(﹣1,2,﹣1),
=(1,﹣1,2),
=(0,2,0)。
设平面ACM的法向量为=(x1,y1,z1),则
,令x1=1,则z1=﹣1,y1=0。
∴=(1,0,﹣1)。
设平面NCM的法向量为=(x2,y2,z2),则
,令x2=3,则y2=1,z2=﹣1。
∴=(3,1,﹣1)。
∴=
=
=
。
设二面角N﹣MC﹣A为θ,则=
=
。
故二面角N﹣MC﹣A的正弦值为。
知识点
如图,已知四棱锥的底面
是菱形;
平面
,
,
点为
的中点。
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正切值。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:
连结,
与
交于点
,连结
.
是菱形, ∴
是
的中点.
点
为
的中点, ∴
.
平面
平面
, ∴
平面
.
(2)解法一:
平面
,
平面
,∴
.
,∴
.
是菱形, ∴
.
,
∴平面
.
作,垂足为
,连接
,则
,
所以为二面角
的平面角.
,∴
,
.
在Rt△中,
=
,
∴.
∴二面角的正切值是
.
解法二:
如图,以点为坐标原点,线段
的垂直平分线所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,令
,
则,
,
。
∴。
设平面的一个法向量为
,
由,得
,
令,则
,∴
.
平面
,
平面
,
∴.
,∴
.
是菱形,∴
.
,∴
平面
.
∴是平面
的一个法向量,
。
∴,
∴,
∴,
∴二面角的正切值是
.
知识点
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