- 直线方程和两条直线的位置关系
- 共650题
圆与直线
相切于点
,则直线
的方程为( )
正确答案
解析
略
知识点
如图,三棱柱中,
平面
,
、
分别为
、
的中点,点
在棱
上,且
.
(1)求证:平面
;
(2)在棱上是否存在一个点
,使得平面
将三棱柱分割成的两部分体积之比为1
15,若存在,指出点
的位置;若不存在,说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:
取的中点M,
为
的中点,
又为
的中点,
在三棱柱中,
分别为
的中点,
,
为平行四边形,
平面
,
平面
平面
(2)设上存在一点
,使得平面EFG将三棱柱分割成两
部分的体积之比为1︰15,
则
,
,
所以符合要求的点不存在
知识点
若直线过点
,且与直线
垂直,则直线
的方程为___________.
正确答案
解析
略
知识点
在极坐标系中,直线被圆
所截得的线段长为___________.
正确答案
解析
略
知识点
在△ABC中角A.B.C的对边分别为设向量
(1)若=
,求A;
(2)若的外接圆半径为1,且
试确定
的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
因为
所以,-------------------------------------------1分
由正弦定理,得,
即-------------------------------------------------2分
又所以
即
,--------------------------------3分
(1)=
------4分
,
得,
6分
(2)若则
,
由正弦定理,得 8分
设=
,则
,
所以-------------------------------------------10分
即,所以实数
的取值范围为
,---------12分
知识点
如图,正方形与梯形
所在的平面互相垂直,
,
∥
,
,点
在线段
上。
(1)当点为
中点时,求证:
∥平面
;
(2)当平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
时,求三棱锥
的体积。
正确答案
见解析。
解析
(1)以直线、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,则
,
,
,所以
。
∴————————2分
又,是平面
的一个法向量。
∵即
∴∥平面
——————4分
(2)设,则
,又
设,则,
即
,——6分
设是平面
的一个法向量,则
取 得
即
又由题设,是平面
的一个法向量,——————8分
∴————10分
即点为
中点,此时,
,
为三棱锥
的高,
∴ ————————————12分
知识点
已知直线与圆
相交于
两点,且
则
的值是
正确答案
解析
略
知识点
选修4-1:几何证明选讲
如图,圆O1与圆O2相交于A.B两点,AB是圆O2的直径,过A点作圆O1的切线交圆O2于点E,并与BO1的延长线交于点P,PB分别与圆O1.圆O2交于C,D两点。
求证:(1)PA·PD=PE·PC;
(2)AD=AE。
正确答案
见解析。
解析
(1)分别是⊙
的割线∴
①(2分)
又分别是⊙
的切线和割线∴
② (4分)
由①,②得 (5分)
(2)连结.
,设
与
相交于点
∵是⊙
的直径
∴
∴是⊙
的切线,(6分)
由(1)知,∴
∥
∴
⊥
,
(8分)
又∵是⊙
的切线,∴
又,∴
∴ (10分)
知识点
已知三棱柱ABC—A1B1C1,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点O,∠BCA=90°,AC=BC=2,又知BA1⊥AC1。
(1)求证AC1⊥平面A1BC;
(2)求锐二面角A—A1B—C的余弦值。
正确答案
见解析。
解析
方法1:(1)证明:由∠BCA=90°,得BC⊥AC
因为A1O⊥底面ABC,所以A1O⊥BC …………2分
因为A1O∩AC=O,所以BC⊥平面A1AC,所以BC⊥AC1, …………4分
因为BA1⊥AC1,BA1∩BC=B,所以AC1⊥平面A1BC……………………6分
(2)设AC1∩A1C =Q,作QE⊥A1B于E,连接AE, 由(Ⅰ)知A1B⊥AE,
所以∠AEQ为二面角A-A1B-C的平面角
在Rt△A1BC中,QE=,AQ=
,AE=
所以
∴二面角A-A1B-C的余弦值为……………………12分
方法2;如图,取AB的中点E,则OE//BC,
因为BC⊥AC,所以OE⊥AC
又A1O⊥平面ABC,以OE⊥OC,
OA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0)。
C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t),t>0.………2分
(1)=(0,3,t),
=(一2,一1,t),
=(2,0,0),…4分
∵=0×2+3×0+t×0=0,
∴AG⊥CB,
又BA1⊥AC1,从而AC1⊥平面A1BC,…………6分
(2)∵⊥AC1,∴
·
=0,即(-2)×0+(-1)×3+t×t=0,
解得: …………8分
由(1)知平面A1BC的一个法向量=(0,3,
)。
设平面A1AB 的法向量为n=(x,y,z),=(0,1,
),
,所以
,设z=1,则
…………10分
故cos<,n>=
∴锐二面角A—A1B—C的余弦值为, …………12分
知识点
若点P在直线上,过点P的直线
与圆
只有一个公共点M,且
的最小值为4,则
____ 。
正确答案
解析
画出图形,由题意l2与圆C只一个交点,说明是圆C的切线,由于
,所以要
最小,只需
最小,即点C到
的距离
,所以|PM|的最小值为
,解得
。
知识点
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