热门试卷

（1）因为f′（x）＝（r＋1）（1＋x）r－（r＋1）＝（r＋1）[（1＋x）r－1]，令f′（x）＝0，解得x＝0.

当－1＜x＜0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（－1,0）内是减函数；

当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）内是增函数。

故函数f（x）在x＝0处取得最小值f（0）＝0.

（2）证明：由（1），当x∈（－1，＋∞）时，有f（x）≥f（0）＝0，即

（1＋x）r＋1≥1＋（r＋1）x，且等号当且仅当x＝0时成立，

故当x＞－1且x≠0时，有

（1＋x）r＋1＞1＋（r＋1）x.①

在①中，令（这时x＞－1且x≠0），得.

上式两边同乘nr＋1，得（n＋1）r＋1＞nr＋1＋nr（r＋1），即

.②

当n＞1时，在①中令（这时x＞－1且x≠0），类似可得

.③

且当n＝1时，③也成立。

综合②，③得

.④

（3）解：在④中，令，n分别取值81,82,83，…，125，得

，

，

，

……

。

将以上各式相加，并整理得

。

代入数据计算，可得，.

由[S]的定义，得[S]＝211

设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，

则Ai（i＝0,1,2,3）与Bj（j＝0,1）独立。

（1）恰好摸到1个红球的概率为

P（A1）＝.

（2）X的所有可能值为0,10,50,200，且

P（X＝200）＝P（A3B1）＝P（A3）P（B1）＝，

P（X＝50）＝P（A3B0）＝P（A3）P（B0）＝，

P（X＝10）＝P（A2B1）＝P（A2）P（B1）＝，

P（X＝0）＝.

综上知X的分布列为

从而有E（X）＝0×＋10×＋50×＋200×＝4（元）

解析：（1）f（x）＝4cos ωx·sin

＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx

＝（sin 2ωx＋cos 2ωx）＋

.

因为f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，

从而有，故ω＝1.

（2）由（1）知，f（x）＝.

若0≤x≤，则.

当，即时，f（x）单调递增；

当，即时，f（x）单调递减。

综上可知，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减。

要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。 本题还可连接，利用三角形中位线来求证。