热门试卷

（1）∵ABCD是正方形,

∴BC∥AD.

∵BC平面AMD,AD平面AMD,

∴BC∥平面AMD.

∵NB∥MD,

∵NB平面AMD,MD平面AMD,

∴NB∥平面AMD.

∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,

∴平面AMD∥平面BCN     ………………………………………………………3分

∵AM平面AMD,

∴AM∥平面BCN      ……………………………………………………………4分

(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)

（2）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分

则，，,.

,   ………………………………………6分

，,

设平面MNC的法向量,

则，令，则 … 7分

设AN与平面MNC所成角为,

.  ……9分

（3）设，，，

又，

E点的坐标为，  ……………………………………………………11分

面MDC,，

欲使平面ADE⊥平面MNC，只要，

，，

 .  ……………………………………………………………14分

（1）证明：设与相交于点，连结。

因为 四边形为菱形，所以，

且为中点。

又 ，所以 。

因为 ，

所以 平面。

（2）证明：因为四边形与均为菱形，

所以//，//，

所以 平面//平面。

又平面，

所以// 平面。

（3）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形。

因为为中点，所以，故平面。

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。

设，因为四边形为菱形，，则，所以，

。

所以 。

所以 ，。

设平面的法向量为，则有

所以   取，得。

易知平面的法向量为。

由二面角是锐角，得 。

所以二面角的余弦值为。

（1）证明： 因为平面，

所以.      ……………………1分

因为是正方形，

所以，

所以平面,  …………………3分

从而       ……………………4分

（2）解：因为两两垂直，

所以建立空间直角坐标系如图所示. …………5分

设，可知. ……………………6分

则 ,，，，，，

所以，，                   ………………7分

设平面的法向量为，则，即，

令，则.                             …………………8分

因为平面，所以为平面的法向量， ，

所以  ………………………………………9分

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.  …………10分

（3）解：点是线段上一个动点，设.

则，

因为平面，

所以，                                     ……………11分

即，解得.                        ……………13分

此时，点坐标为，，符合题意.   ……………14分

（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AMMN, BCMN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面与平面的平面角，依题意，所以∠AMD=60o，………………………………………………2分

由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=,所以，BD=，由题可知BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO     …………………………………………… 5分

解（2）设E，F是BD，CD的中点，则EFCD，OFCD，所以，CD面OEF，

又BO=OD，所以BD，面ABCD，面，平面BOD⊥平面ABCD

过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH，……… 8分

所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角，即AO与平面BOD所成角。……11分

AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=，BO=OD=，

所以sin∠AOH=（14分）

方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系，

Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1）

所以（，，1），（0，，

所以0，即BO⊥DO（5分）

（2）设平面BOD的法向量是，可得：+=0

=0，令可得：所以

又（，，，

设AO与平面BOD所成角为

=（14分）

（1）证明：因为，N是BC的中点

所以，又

所以四边形是平行四边形，所以

又因为等腰梯形，，

所以 ，所以四边形是菱形，所以

所以，即

由已知可知  平面平面，

因为 平面平面

所以平面     ……………………………4分

（2）证明：因为，，

所以平面平面

又因为平面，

所以 平面                    …………………………8分

（3）因为平面

同理平面，建立如图如示坐标系

设，

则,, ，， ……………………………9分

则，

设平面的法向量为，有 ，，

得                             ……………………………11分

因为平面，所以平面平面

又，平面平面

所以平面

与交于点O，O则为AN的中点，O

所以平面的法向量        ……………………………12分

所以                      ……………………………13分

由图形可知二面角为钝角

所以二面角的余弦值为，        ……………………………14分

（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。                        …………（1分）

设，则，，，，

故，，，      ………………（3分）

因为，，故，，

即，，                             ………………………（5分）

所以，平面。                               ………………………（6分）

（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量

为，                                                …………（1分）

点的坐标为，则，，…………（2分）

设平面的一个法向量为，则，，

故即取，则，

故。                                     ………………………（5分）

设与的夹角为，则。  ………………………（7分）

所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为。 ……………………（8分）

解法二：

（1）因为平面，所以，     ………………………………（1分）

作，为垂足，则四边形是正方形，设，则，，

又，所以是的中点，，所以，

所以，所以。         ………………………………（5分）

所以，平面。                         ………………………………（6分）

（2）连结，由（1）知，又，所以平面，…（2分）

所以，所以为所求二面角的平面角。      ………………………（4分）

因为△是等腰直角三角形，所以。       ………………………（7分）

所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为

（1）证明:，，，………………，2分

， 平面，

，;  ………………………，4分

（2）解：，，，所以，可由所在直线为轴建立空间直角

坐标系（如图），……………………………5分

设，则，……………………7分

，，……………………8分

设面的法向量，

令，

，  ……10分   ……………，10分

，      ………………………，12分

与平面所成角为，

。………………………，11分

，………………………，12分

解得：，或（舍），所以，的长为，………………………，13分

（1）∵  正  △  ABC的边长为3，且==

∴  AD=1，AE=2，

△  ADE中，∠   DAE=60°，由余弦定理，得

DE==

∵   AD2+DE2=4=AE2，∴    AD⊥DE。

折叠后，仍有A1D⊥DE

∵     二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴    平面A1DE⊥平面BCDE

又∵   平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE

∴    A1D丄平面BCED；

（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°

如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P

由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED

所以A1D丄PH

∵   A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，

∴      PH⊥平面A1BD

由此可得∠   PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠   PA1H=60°

设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x

在Rt△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，

在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2﹣x

由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2﹣x）2=（x）2

解之得x=，满足0≤x≤3符合题意

所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=。

（1）证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，

∴   …………………………1分

,,

∴⊥平面 ………………………2分

平面

∴，即 …………………3分

又

∴平面      …………………………………4分

（2）当是棱的中点时，//平面.……………………………5分

证明如下:

连结,取的中点H，连接,

则为的中位线

∴∥，…………………6分

∵由已知条件，为正方形

∴∥，

∵为的中点，

∴                                       ……………………7分

∴∥，且

∴四边形为平行四边形

∴∥

又  ∵            ……………………8分

∴//平面                                    ……………………9分

（3）∵ 直三棱柱且

依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，……………………10分

,,,,

则，

设平面的法向量，

则,即，

令，有                             ……………………12分

又平面的法向量为，

==，                    ……………………13分

设二面角的平面角为，且为锐角

。                       ……………………14分