直线方程和两条直线的位置关系_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＝1(a＞b＞0)上．若点A(－a，0)，B(0，)，且＝．

20.求椭圆M的离心率；

21.设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．

①若点P(－3，0)，直线l过点(0，－)，求直线l的方程；

②若直线l过点(0，－1) ，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：（1）设C (x0，y0)，则＝(a，)，＝(x0，y0－)．

因为＝，所以(a，)＝ (x0，y0－)＝，

得

代入椭圆方程得a2＝．

因为a2－b2＝c2，所以e＝．

考查方向

本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用斜率的共线的坐标表示和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力本题考查了利用三角函数的函数单调区间和解三角形求面积

解题思路

本题考查直线与椭圆位置关系，解题步骤如下：

（1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，

再由离心率公式计算即可得到所求值；

（2）①由题意可得c=2，a=3， b2＝5，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；

②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k2，再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．

易错点

第二问容易计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）①y＝－x＋或y＝－x＋②(－，0)∪(0，)

解析

解：（2）①因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为＝1，

设Q (x0，y0)，则＝1．……①

因为点P(－3，0)，所以PQ中点为，

因为直线l过点(0，－)，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，

所以＝－1，

化简得x02＝9－y02－y0．……②

将②代入①化简得y02－y0＝0，解得y0＝0（舍），或y0＝．

将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为(±，)，

所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或－，

所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x＋．

②设PQ：y＝kx+m，则直线l的方程为：y＝－－1，所以xD＝－k．

将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0．…………①，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，

xN＝＝－，代入直线PQ的方程得yN＝，

代入直线l的方程得9k2＝4m－5． ……②

又因为△＝(18km)2－4(5＋9k2) (9m2－45)＞0，

化得m2－9k2－5＜0．

将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，

所以－＜k＜，且k≠0，所以xD＝－k∈(－，0)∪(0，)．

综上所述，点D横坐标的取值范围为(－，0)∪(0，)．

考查方向

本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用斜率的共线的坐标表示和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力本题考查了利用三角函数的函数单调区间和解三角形求面积

解题思路

本题考查直线与椭圆位置关系，解题步骤如下：

（1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，

再由离心率公式计算即可得到所求值；

（2）①由题意可得c=2，a=3， b2＝5，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；

②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k2，再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．

易错点

第二问容易计算错误

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为________.

正确答案

解析

有割线定理得，(PC-)(PC+ )=PA.PB,所以，20=2PA2

PA2=10

设A(x,y),则（x+4）2+y2=10与圆联立可得

x=-1, y=1

直线的方程为

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系,在近几年的各省高考题出现的频率较高，涉及求弦长、圆的几何性质等问题。

解题思路

直线与圆相交的问题，常常考查求弦长问题，涉及到弦的中点即可使用圆的相关的几何性质，转化为直线垂直，进而求出斜率，使用点斜式求出方程。

易错点

1、本题点恰好是线段的中点这一重要信息不能紧密地和圆中的几何性质垂径定理联系起来。

2、两直线垂直的等价条件不能与直线的斜率联系起来。

知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.过点P(3,6)作圆的切线,则切线方程为_____________.

正确答案

x=3,4x-3y+6=0

解析

过点P(3,6)斜率不存在时,直线方程为x=3,

此时与圆相切.

过点P(3,6)斜率存在时,

设方程为y-6=k(x-3),

即kx-y+6-3k=0.

由

得

于是

即4x-3y+6=0.

知识点

直线的一般式方程直线与圆的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．若曲线的一条切线l与直线垂直，则l的方程为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的一般式方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为8，则直线的方程为。

正确答案

4x+3y+21=0或x=-3

解析

1、由圆得其标准方程：，由弦长为8，所以圆心到直线的距离为3。

2、当直线的斜率不存在时，即方程x=-3 ，符合题设；当直线的斜率存在时，可设其方程为：，由点到直线的距离公式得：，即方程为：4x+3y+21=0。

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系求直线方程，这类题在近几年高考中频出，常考还有切线、与向量及函数综合等。

解题思路

本题考查直线与圆的位置关系，解题步骤如下：把圆由一般方程化为标准方程，再结合垂径定理计算出圆心到直线的距离。设出直线方程（点斜式）要注意分类讨论，即分斜率存在与不存在．

易错点

本题必须注意斜率是否存在，易漏解。

知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知点为坐标原点，椭圆C的离心率为,点在椭圆C上．直线过点，且与椭圆C交于，两点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）椭圆C上是否存在一点，使得？若存在，求出此时直线的方程，若不存在，说明理由．

正确答案

（I）

（Ⅱ）存在直线的方程为或

解析

（I）由题意得解得.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）（1）当直线与轴垂直时，点，直线的方程为满足题意；

（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然.

设，，将代入得，

由直线，过点，得，

因此．

，得满足

所以直线的方程为．

综上，椭圆C上存在点，使得成立，此时直线的方程为

或 .

考查方向

本题主要考察椭圆的定义，以及直线与椭圆的综合问题，题目难度中等，计算量较大，是高考热点问题。圆锥曲线在高考中常常考察椭圆中的弦长、三角形面积的最值问题，以及定值和定点问题，或者求某一参数的取值范围，题目计算量较大，需要悉心计算。

解题思路

第一问直接根据离心率得到之间的关系，再根据过点列出方程组，解出

第二问设直线方程，别忘了考虑斜率不存在的情况，然后根据得到P点坐标,然后把P点坐标代入椭圆方程，得到关于的方程，解出即可。

易错点

1、在第二问设斜率的时候没有考虑斜率不存在的情况；

2、在第二问中计算出错

知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则

① 到坐标原点的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;

② 坐标原点与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.

正确答案

解析

略

知识点

函数的值域两点间的距离公式

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．函数f（x）＝在点（0，f（0））处的切线方程是( )

Ax＋y＋1＝0

Bx＋y－1＝0

Cx－y＋1＝0

Dx－y－1＝0

正确答案

C

解析

。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查导数的几何意义

解题思路

1、求出f（x）的导数；

2、代入求值，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在求导数时发生错误，易用错运算法则。

知识点

导数的几何意义直线的一般式方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

18．已知函数，函数，其中．

（Ⅰ）如果函数与在处的切线均为，求切线的方程及的值；

（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围。

正确答案

（Ⅰ），；

（Ⅱ），或．

解析

试题分析：本题属于导数的应用的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意作差构造新函数

（Ⅰ）解：求导，得，，．

由题意，得切线l的斜率，即，解得．

又切点坐标为，所以切线l的方程为．

（Ⅱ）解：设函数，．

“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一

个零点”．

求导，得．

① 当时，

由，得，所以在单调递增．

又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．

②当时，

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

故有且仅有一个零点，符合题意．

③ 当时，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，．

因为，，且在上单调递增，

所以．

又因为存在，，

所以存在使得，

所以函数存在两个零点，1，与题意不符．

综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是，或

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的零点，导数作为一种工具，其应用主要分以下几类：

1．利用导数研究函数的单调性，

2．利用导数研究函数的极值、最值，

3．利用导数研究函数的零点个数，

4．利用导数研究不等式恒成立问题．

解题思路

本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的应用，解题步骤如下：

1．求导，利用导数的几何意义得到等式，求出值和切线方程；

2．作差构造函数，将问题转化为函数有且只有一个零点；

3．求导，通过导函数的符号研究函数的单调性与极值；

4．通过研究极值的符号得到答案．

易错点

忽视新函数的定义域

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义直线的一般式方程

1

题型：简答题

|

简答题 · 16 分

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

正确答案

（1）由题意，得且，

解得，，则，

所以椭圆的标准方程为．

（2）当轴时，，又，不合题意．

当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，

将的方程代入椭圆方程，得，

则，的坐标为，且

．

若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．

从而，故直线的方程为，

则点的坐标为，从而．

因为，所以，解得．

此时直线方程为或．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系

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