三角函数的综合应用
共200题

三角函数的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 14 分

在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，分别是棱的中点。

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的大小。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：设是的中点，连接

∵分别是的中点， ∴，

∴，∴是平行四边形，∴ ………………2分

∵平面平面，

∴平面 ………………3分

（2）∵， ∴， ………………4分

∵， ∴，

又∵， ∴平面，

∴， ………………6分

∵与相交， ∴平面，

∴平面， ………………7分

（3）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

………………8分

∵， ∴，，，

设是的中点，连接∵平面，

∴同理可证平面，∴是平面的法向量，

………………9分

，

设平面的法向量，则

∴令，则

∴ ………………12分

∴， ………………13分

∴二面角的大小为 ………………14分

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

d .

正确答案

解析

略

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知为锐角，且＋3＝0，则的值是

正确答案

解析

略

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

椭圆的离心率为，若直线与其一个交点的横坐标为，则的值为

正确答案

解析

因为椭圆的离心率为，所以有，即，，所以。当时，交点的纵坐标为，即交点为，代入椭圆方程，即，所以，选C.

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知的对边分别为.

（1）求证：；

（2）若，求.

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：如图

即有

（2）由得

由得解之得或（舍弃）

故

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

在中，的对边的边长分别为且成等比数列。

（1）求角B的取值范围;

（2）若关于B的不等式恒成立，求m的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）

当且仅当时，故………5分

（2）

＝……8分

故原不等式恒成立，即得

的取值范围为.…12分

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是，则该几何体的俯视图可以是

正确答案

解析

若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件；若为B,则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为，不满足条件；若为D, 几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的部分，此时体积为，不满足条件，若为C，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1的三棱柱，所以体积为，满足条件，所以选C.

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

自圆外一点引圆的一条切线，切点为，为的中点，过点引圆的割线交该圆于两点，且，.

（1）求证：与相似；

（2）求的大小。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为为圆的切线，所以.

又为中点，所以.

因为，所以与相似.（5分）

（2）由（1）中与相似，可得.

在中，由，

得. (10分)

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值为（）

正确答案

解析

设该三棱柱的底面边长为，高为，则底面正三角形的外接圆半径是，依题意有，即，，当且仅当，即，时取等号，此时取得最大值，因此该棱柱的体积的最大值是.

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知，则cos2α=　　。

正确答案

解析

∵cos（）=cos[2π﹣（﹣）]=cos（）=sin=﹣

∴cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（﹣）2=

cos2α=2cos2α ﹣1=2×（）2﹣1=﹣

知识点

函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用

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