三角函数的综合应用
共200题

三角函数的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解。

正确答案

见解析

解析

（1），

由得：

的单调递增区间是；

（2）由已知，，

由，得，

，.

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数。

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，有恒成立，求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减。

当时，在单调递减

（3）

解析

（1）当时，，

∴。

∵的定义域为，∴由得。 ---------------------------2分

∴在区间上的最值只可能在取到，

而，

∴ 。 ---------------------------4分

（2）。

①当，即时，在单调递减；-------------5分

②当时，在单调递增； ----------------6分

③当时，由得或（舍去）

∴在单调递增，在上单调递减； --------------------8分

综上，

当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减。

当时，在单调递减； -----------------------9分

（3）由（2）知，当时，

即原不等式等价于 ---------------------------10分

即

整理得

∴， ----------------------------11分

又∵，所以的取值范围为. ---------------------------12分

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数。

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）当时，用定义证明函数在上是增函数；

（3）求函数在上的最值。

正确答案

见解析

解析

证明：（1）由题意，函数的定义域为R，

对任意都有

故f（x）在R上为奇函数；

（2）任取则

故f（x）在[-1，1]上为增函数；

（3）由（1）（2）可知：

①当时，f（x）在[-1，1]上为增函数，故f（x）在[-1，1]上的最大值为

最小值为 ②当时，f（x）在[-1，1]上为减函数，故f（x）在[-1，1]上的最大值为，最小值为

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：简答题

简答题 · 14 分

在△中，角，，所对应的边，，成等比数列。

（1）求证：；

（2）求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）由已知，，所以由余弦定理，

得 ………………2分

由基本不等式，得，………………4分

所以，因此，，………………6分

（2），

………………9分

由（1），，所以，所以，

所以，的取值范围是。 ………………12分

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：简答题

简答题 · 12 分

在中，已知，面积

（1）求的三边的长；

（2）设是（含边界）内一点，到三边的距离分别为和，求的取值范围.

正确答案

见解析

解析

（1）设

，由，用余弦定理得

（2）

设，由线性规划得

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数（）

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）由题设，（2分）

由，解得，

故函数的单调递增区间为（）。（6分）

（2）由，可得。（7分）

考察函数，易知，（10分）

于是。

故的取值范围为。（12分）

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：简答题

简答题 · 12 分

的内角、、的对边分别为、、，已知，，求。

正确答案

解析

解析：由

于是.

由已知得　　 ①

由及正弦定理得　 ②

由①、②得，于是（舍去），或

又　所以。

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）求的最小正周期和值域；

（2）若为的一个零点，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）易得

＝，

所以周期，值域为；

（2）由得

又由得

所以故，

此时，

，

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：单选题

单选题 · 5 分

若，则的值是（　　）

正确答案

解析

∵ sin2θ+cos2θ=1，

∴ 便得出方程组

解这个关于sinθ与cosθ的2元2次方程组，

∴ ，所以tanθ=1。

故有。

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数(R)。

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）如果函数，在公共定义域上，满足，那么就称为的“活动函数”。

已知函数.若在区间上，函数是的“活动函数”，求的取值范围;

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时，，

对于，有，

∴在区间[1, e]上为增函数，

∴，.

（2）①在区间（1，+∞）上，函数是的“活动函数”，则

令<0，对恒成立，

且=<0对恒成立，

∵

（i）若，令，得极值点，，

当，即时，在（，+∞)上有，

此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，+∞)，不合题意；

当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合题意；

（ii）若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，

从而在区间(1，+∞)上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只须满足，

所以a

又因为<0, 在(1, +∞)上为减函数，，

综合可知的范围是.

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

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