几何证明选讲_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4—1；几何证明选讲．

如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．

29.求证：DE2=DB•DA；

30.若DB=2，DF=4，试求CE的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

证明：连接OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．

所以DE2=DB•DA．

考查方向

相似三角形、与圆有关的计算、与圆有关的比例线段

解题思路

利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线，三角形相似条件找不准

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．DA= 8，从而AB=6，则．

又由29题可知，DE=DF=4， BE=2，OE=1．从而在中，．

考查方向

相似三角形、与圆有关的计算、与圆有关的比例线段

解题思路

利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线，三角形相似条件找不准

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲

已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点.过点作圆的切线交的延长线于点.

28.求证：；

29.若，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：（Ⅰ）由，可知， …………………………………2分

由角分线定理可知，，即，得证. ………5分

考查方向

相似三角形的性质，与圆有关的比例线段

解题思路

将等积式转换成比例式，然后找到三角形，证明三角形相似后，得到等量关系

易错点

找不到证明三角形相似的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

∴（内错角），

又（弦切角），

∴，∴. …………………………………10分

考查方向

相似三角形的性质，与圆有关的比例线段

解题思路

将等积式转换成比例式，然后找到三角形，证明三角形相似后，得到等量关系。利用等量转换法，证明线段相等

教师点评

此题型要求学生对相似三角形和与圆有关的比例线段有一个准确而又熟练的掌握

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

11．定积分__________

正确答案

e

解析

（2x+ex）dx=（x2+ex）=（12+e1）-（02+e0）=e

知识点

平行截割定理

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD，若PC=4，PB=2，则CD=　　。

正确答案

解析

设圆的半径为R，连接OC。

∵ PD与半圆O相切于点C，∴ PC2=PB•PA，OC⊥PD，。

∵ PC=4，PB=2，∴ 42=2×（2+2R），

解得R=3。

又∵ AD⊥PD，∴ OC∥AD。

∴ 。

∴ ，解得CD=。

知识点

平行截割定理

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F，求证：△PDF∽△POC。

正确答案

见解析。

解析

因为AE=AC，∠CDE=∠AOC，

又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，

从而∠PFD=∠OCP。

在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PFD=OCP，

故 △PDF∽△POC

知识点

平行截割定理

1

题型：简答题

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简答题 · 7 分

设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=（）（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1。

（1）求实数a，b的值。

（2）求A2的逆矩阵。

正确答案

（1）a=1，b=1

（2）A2的逆矩阵为

解析

（1）设曲线2x2+2xy+y2=1上的点（x，y）在矩阵A=（）（a＞0）对应的变换作用下得到点（x′，y′）

则（）=，∴

∵x′2+y′2=1

∴（ax）2+（bx+y）2=1

∴（a2+b2）x2+2bxy+y2=1

∵2x2+2xy+y2=1

∴a2+b2=2，2b=2

∴a=1，b=1

∴A=（）

（2）A2=（）（）=（），=1

∴A2的逆矩阵为

知识点

平行截割定理

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：

（1）∠FEB＝∠CEB；

（2）EF2＝AD·BC.

正确答案

见解析

解析

证明：（1）由直线CD与O相切，得∠CEB＝∠EAB.

由AB为O的直径，得AE⊥EB，

从而 ∠EAB＋∠EBF＝；

又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，

从而∠FEB＝∠EAB.

故∠FEB＝∠CEB.

（2）BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，

得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.

类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.

又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，

所以EF2＝AD·BC.

知识点

平行截割定理

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题型：填空题

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填空题 · 7 分

选修4-2：矩阵与变换

设，若矩阵A＝的变换把直线变换为另一直线。

（1）求的值；

（2）求矩阵A的特征值。

正确答案

见解析。

解析

（1）设直线上的任一点在变换作用下变成了，则有

，

即　　　　　　　　　　 ……………1分

在直线上，

所以　　　，

即　　　， ……………2

所以

所以　　　。 ……………4分

（2）由（1）知矩阵A＝，

特征矩阵为。 ……………5分

特征多项式为，

令0，解得矩阵A的特征值＝，，……………7分

知识点

平行截割定理

1

题型：简答题

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简答题 · 7 分

选修4－2：矩阵与变换
如图，矩形在变换的作用下变成了平行四边形，变换所对应的矩阵为，矩阵是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵。

(1)求；

(2)判断矩阵是否存在特征值。

正确答案

见解析。

解析

（1）设，则

故所以，

，，

（2）因为矩阵MN的特征多项式

的判别式小于0，故矩阵不存在特征值。

知识点

平行截割定理

1

题型：简答题

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简答题 · 7 分

选修4一2:矩阵与变换

若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆.

（1）求的值；

（2）判断矩阵是否可逆，如果可逆，求矩阵的逆矩阵，如不可逆，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）设点为圆C:上任意一点,经过矩阵A变换后对应点为,

则,所以

因为点在椭圆:上,所以, ………………2分

又圆方程为,故,即,又,,所以,. ……4分

（2）,因为，所以矩阵A可逆，………………5分

所以 ………………………………7分

知识点

平行截割定理

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

教师点评

正确答案

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