几何证明选讲_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4—1：几何证明选讲

如图6，圆O的直径，P是AB延长线上一点，BP=2 ,割线PCD交

圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.

28. 当时，求的度数；

29.求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：(Ⅰ) 连结BC，∵AB是圆O的直径 ∴则，

又，

，

∵；

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

找不到与之间的关系；

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）24；

解析

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，

∴D、C、E、F四点共圆，

∴,

∵PC、PA都是圆O的割线，∴，

∴=24.

考查方向

本题主要考查直径所对的圆周角是直角，四点共圆，切割线定理等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力。

解题思路

无法发现D、C、E、F四点共圆导致不能使用割线定理。

易错点

不会使用第（1）问的结论推导第（2）问；

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲．

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．

27.求证：；

28.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∵,∴∽,∴，又∵,∴, ∴,，∴∽， ∴， ∴，又∵，∴．

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先证明,再证，可证得

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

PA=

解析

∵, ∴ ，∵ ∴

由27题可知：，解得.∴． ∵是⊙的切线，∴，∴，解得．

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先综合题中条件及27中结论，解出EP=,BP=,再由切割线定理，解得PA=

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

等腰梯形中，∥，、交于点，平分，为梯形外接圆的切线，交的延长线于点．

27.求证：；

28.若，，，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略；

解析

(1) 为圆的切线，平分

为圆的切线．-------------5分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

与相似，

．-------------10分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上,延长BC到D使,过C作圆O的切线交AD于E.若,.

27.求证：;

28.求BC的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

连接，因分别为的中点，所以,

又为圆的切线，,所以

考查方向

圆切线的判定与性质

解题思路

作出半径，然后证明垂直关系

易错点

几何关系找不全，逻辑混乱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

依题意易知,所以,又

,所以,从而.

考查方向

与圆有关的比例线段，相似三角形的性质和判定

解题思路

根据圆的比例线段关系，证明三角形相似，然后求出比例等式，进而求出线段的值

易错点

几何关系找不全，逻辑关系混乱

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

正确答案

ＬＵＥ

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

正确答案

略

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7. 已知为圆的直径，于，为的中点，与相交于点，切线与的延长线交于点.若圆的半径为1，则的长为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为DE为圆OD的直径，所以EC垂直于CD，因为圆O的半径为1，2ON=EC,所以,在直角三角形DEF中，

,所以选A

考查方向

与圆有关的比例线段

解题思路

利用射影定理求EF的长

易错点

对圆的切线的性质掌握不好

知识点

圆的切线的性质定理的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

正确答案

解析

（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

知识点

圆的切线的判定定理的证明弦切角

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，切于点，直线AO交于，两点，，垂足为．

（1）证明：；

（2）若，，求的直径．

23.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．

（1）写出的直角坐标方程；

（2）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．

24.选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集为．

（1）求实数，的值；

（2）求的最大值．

正确答案

22.（1）因为DE为圆O的直径，则，

又BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.

又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.

（2）由（1）知BD平分CBA，则,又，从而，

所以，所以.

由切割线定理得，即=6，

故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.

23.（1）由，

从而有.

（2）设,则，

故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.

24.（1）由，得

则解得,

（2）

当且仅当，即时等号成立，

故.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）

选修4—1：几何证明选讲

如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若等于的半径，且，求四边形的面积.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.

（Ⅰ）.求与交点的直角坐标；

（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）若，则；

（Ⅱ）是的充要条件.

正确答案

22.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由已知得，欲证明，只需证明，由切线长定理可得，故只需证明是角平分线即可；（Ⅱ）连接，，在中，易求得，故和都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面积.四边形的面积为两个等边三角形面积之差.

试题（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线.又因为分别与、相切于、两点，所以，故.从而.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上.连接，，则.由等于的半径得，所以.所以和都是等边三角形.因为，所以，.

因为，，所以.于是，.所以四边形的面积.

23.

（Ⅰ）和；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理.

试题（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.联立解得或所以与交点的直角坐标为和.

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中.因此得到极坐标为，的极坐标为.所以，当时，取得最大值，最大值为.

24.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

解析

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知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

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