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题型:填空题
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填空题 · 5 分

13.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相交于O,记△BCO、 △CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3,则的取值范围是(    )

正确答案

解析

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知识点

平行线分线段成比例定理
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

22.选修4-1:几何证明选讲

已知线段为圆的直径,为圆周上一点,,过作圆的切线交的延长线于,过垂直的延长线于,求证:

(1)

(2).

正确答案

见解析

解析

(1)连接,由已知,

所以四点共圆

于是

因为直线与圆切于点,所以,则有

于是,所以

(2)因为四点共圆,有

,有

因为均与互余,即

所以

.

考查方向

相似三角形、与圆有关的计算

解题思路

利用辅助线,做出相似三角形,根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线,三角形相似条件找不准

知识点

平行线分线段成比例定理
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,弦AB与CD相交于O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=__________.

正确答案

解析

∠C与∠A在同一个O中,所对的弧都是,则∠C=∠A。又PE∥BC,∴∠C=∠PED。∴∠A=∠PED。又∠P=∠P,∴△PED∽△PAE,则,∴PE2=PA·PD。又PD=2DA=2,∴PA=PD+DA=3,∴PE2=3×2=6,∴PE=

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质与圆有关的比例线段
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,AD是⊙的切线,AC是⊙的弦,过C做AD的垂线,垂足为B,CB与⊙相交于点E,AE平分,且AE=2,则       ,         ,

.

正确答案

,3

解析

知识点

相似三角形的判定
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图所示,等腰三角形ABC的底边AC长0为6,其外接圆的半径长为5,则三角形ABC的面积是  。

正确答案

3

解析

∵等腰三角形ABC的底边AC长为6,其外接圆的半径长为5

∴半径,弦心距和弦长组成一个直角三角形,有勾股定理可知弦心距是 =4,

∴三角形的高是5﹣4=1,

∴三角形的面积是 ×1×6=3,

故答案为:3。

知识点

相似三角形的判定
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,点A、B、C都在O上,过点C的切线 交AB的延长线于点D,若AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段AC的长为_______

正确答案

解析

知识点

相似三角形的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

选修41:几何证明选讲

如图14,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:

(1)BE=EC;

(2)AD·DE=2PB2.

正确答案

(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,

∠PAD=∠BAD+∠PAB,

∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.

因此BE=EC.

(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

解析

(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,

∠PAD=∠BAD+∠PAB,

∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.

因此BE=EC.

(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质圆的切线的性质定理的证明
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,已知直线PD切⊙O于点D,直线PO交⊙O于点E,F.若,则⊙O的半径为();() .

正确答案

,15°

解析

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质弦切角与圆有关的比例线段
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图所示,C,D是半圆周上的两个三等分点,直径AB=4,CE⊥AB,垂足为E,BD与CE相交于点F,则BF的长为  。

正确答案

解析

∵C,D是半圆周上的两个三等分点,∴∠DBA=30°,

连接AD,则∠ADB=90°,∴AD=2,

过点D作DG⊥AB于G,在Rt△ADG中,∠ADG=30°,∴AG==1。

则AG=BE=1,∴=

故答案为

知识点

相似三角形的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10,PB=5。

求:(1)⊙O的半径;

(2)sin∠BAP的值。

正确答案

(1)7.5

(2)sin∠BAP =

解析

(1)因为PA为⊙O的切线,所以,

又由PA=10,PB=5,所以PC=20,BC=20-5=15      ………2分。

因为BC为⊙O的直径,所以⊙O的半径为7.5.     ………4分

(2)∵PA为⊙O的切线,∴∠ACB=∠PAB,        ………………5分

又由∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴   ………7分

设AB=k,AC=2k, ∵BC为⊙O的直径,

∴AB⊥AC∴            ………………8分

∴sin∠BAP=sin∠ACB=          ………………10分

知识点

平行线分线段成比例定理
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