- 几何证明选讲
- 共247题
如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F，若AD=3AE，则AF：FC= 。
正确答案
1：4
解析
如图所示，设直线l交CD的延长线于点N。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。
∵M是边AB的中点，∴
∴
故答案为1：4。
知识点
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P。
（1）求证：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2
正确答案
见解析
解析
（1）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因为OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM2=PN2=PA•PC
（2）∵OM=2，BO=2
∵BM•MN=CM•MA=（
∴MN=2
知识点
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F，求证BE平分∠ABC。
正确答案
见解析。
解析
∵CD=AC，
∴∠D=∠CAD。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵∠EBC=∠CAD，
∴∠EBC=∠D。
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD。
∴∠ABE=∠EBC，
即BE平分∠ABC。
知识点
圆的两弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q。
求证：PF＝PQ。
正确答案
见解析。
解析
因为A，B，C，D四点共圆，所以ADF＝ABC，
因为PF∥BC，所以AFP＝ABC，所以AFP＝FQP，
又因为APF＝FPA，
所以△APF∽△FPQ，
所以
因为PQ与圆相切，所以
所以
知识点
如图，
（1）证明：
（2）证明：
正确答案
见解析
解析
（1）由切割线定理知
（2）由
又四边形GEDF四点共圆，所以
故
知识点
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长。
正确答案
见解析
解析
连接OC，BE，AC，则BE⊥AE。
∵BC=4，∴OB=OC=BC=4，即△OBC为正三角形，
∴∠CBO=∠COB=60°。
又直线l切⊙O与C，∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴AD∥OC。
∴∠EAB=∠COB=60°。
在Rt△BAE中，∴∠EBA=30°，
∴
知识点
如图，
求证：（1）
（2）
正确答案
见解析
解析
证明：（1）
（2）
知识点
如图，以
另一个交点
（1）证明
（2）若
正确答案
见解析
解析
（1）证明：连接
∴
∴△
∵
∴
∴
（2）解：∵
∵
∴⊙
知识点
如图，
（1）求证：
（2）若
正确答案
见解析。
解析
（1）证明：连结
在
又∵
∴
（2）∵
∵
又因为
∴
知识点
22.如图，
证明：（Ⅰ）
（Ⅱ）
正确答案
略
解析
试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，题目的难度是容易题。
（Ⅰ）证明：连接
因为：
由弦切角等于同弦所对的圆周角：
所以：
（Ⅱ）由切割线定理得：
所以：
由相交弦定理得：
所以：
考查方向
本题考查了平面几何的知识，主要涉及直线与圆的位置关系，三角形相似的考查．
解题思路
本题考查平面几何的知识，解题步骤如下：
1、利用圆的相关定理证明。
2、原来切割线定理和相交弦定理证明。
易错点
相关的定理容易混用。
知识点
扫码查看完整答案与解析