几何证明选讲_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在选做题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

24.选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O 中弧AB的中点为，弦分别交于两点．

（I）若，求的大小；

（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．

25.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .

（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

26.选修4-5：不等式选讲

已知函数

（I）当a=2时，求不等式的解集；

（II）设函数当时，，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.

解析

（Ⅰ）连结，则.

因为，所以，又，所以.

又，所以，因此.

（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.

考查方向

1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．

解题思路

1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．

易错点

圆周角定理，四点共圆相关性质问题。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．

解析

选修4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分

（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，

即为到的距离的最小值，.

………………8分

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分

考查方向

1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．

解题思路

利用同角三角函数关系中的平方关系化曲线c1 的参数方程普通方程式，利用公式代入C2的极坐标方程即可

易错点

参数方程与普通方程的互化，点线距中最后与三角的综合应用。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

解析

（Ⅰ）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为. ………………5分

（Ⅱ）当时，

，

当时等号成立，

所以当时，等价于. ① ……7分

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是. ………………10分

考查方向

1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．

解题思路

（Ⅰ）利用等价不等式，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可．

易错点

绝对值符号的去掉讨论，含参数问题的分类讨论。

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知AB是圆的直径，C为圆上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC 分别交于点M、N，且MN = MC

求证：MN = MB；

求证：OC⊥MN。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解题过程；

解析

试题分析：本题属于平面几何的基本问题，由圆的性质直接导出角关系

连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，

∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，

∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC∴MN=MB．

考查方向

本题考查了平面几何中直线与圆的相关问题，相似、全等三角形和角平分线的性质．

解题思路

本题考查圆的性质及相似、全等，解题步骤如下：由圆的性质得到角的等量关系。

易错点

对图形的分析不到位和定理不熟练导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解题过程

解析

试题分析：本题属于平面几何的基本问题，由角度等量关系去证所证。

设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，由(1)知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC，∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．

考查方向

本题考查了平面几何中直线与圆的相关问题，相似、全等三角形和角平分线的性质．

解题思路

本题考查圆的性质及相似、全等，解题步骤如下：由角度等量关系去证所证。

易错点

对图形的分析不到位和定理不熟练导致出错。

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲．

如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．

28.求证：；

29.若，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略

解析

∵,∴∽,∴

又∵,∴, ∴,

∴∽， ∴， ∴

又∵，∴

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先证明,再证，可证得

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

PA=

解析

∵, ∴ ，∵ ∴由28题可知：，解得.

∴． ∵是⊙的切线，∴

∴，解得．得

考查方向

本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形相似等内容.重点考查考生对平面几何推理能力.

解题思路

先综合题中条件及28题中结论，解出EP=,BP=,再由切割线定理，解得PA=

易错点

找不准三角形相似或全等的条件

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

等腰梯形中，∥，、交于点，平分，为梯形外接圆的切线，交的延长线于点．

27.求证：；

28.若，，，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略；

解析

(1) 为圆的切线，平分

为圆的切线．-------------5分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

与相似，

．-------------10分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

等腰梯形中，∥，、交于点，平分，为梯形外接圆的切线，交的延长线于点．

27.求证：；

28.若，，，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）证明略；

解析

(1) 为圆的切线，平分

为圆的切线．-------------6分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.

根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，

．-------------12分

考查方向

切割线定理、相似三角形的判定.

解题思路

根据切割线定理得，再证 ,即可得证.

根据同弧对的圆周角相等，可得，进一步求即可.

易错点

难以找出相等的角，进而将边转化求长度.

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，点O为坐标原点，直线经过抛物线C：y2=4x的焦点F．

26.若点O到直线的距离为，求直线的方程；

27.设点A是直线与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

10．如图，在中，，，若以为直径的圆交于点，则阴影部分的面积是__________．

正确答案

1

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

圆的切线的性质定理的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．

（Ⅰ）求证：BD平分∠CBE;

（Ⅱ）求证：.

正确答案

见解析

解析

证明：

（I）由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB，又∠DBC=∠DAC，∠DAB=∠DAC，所以∠DBE=∠DBC，即BD平分∠CBE.

（Ⅱ）由（I）可知BE=BH，所以，因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，所以△AHC∽△AEB，

所以，即，即.

考查方向

相似三角形、圆的相关概念与性质、角平分线的性质

解题思路

利用弦切角定理找出与其相等的角，并进行相等角间转化;利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB;利用相似三角形对应边成比例，证明有关问题.

易错点

辅助线的作法，相似条件找不准

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为。

正确答案

解析

略

知识点

圆周角定理圆的切线的性质定理的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修41：几何证明选讲

如图14，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

(1)BE＝EC；

(2)AD·DE＝2PB2.

正确答案

(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，

故∠PAD＝∠PDA.

因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，

∠DCA＝∠PAB，

所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.

因此BE＝EC.

(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.

因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.

由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

所以AD·DE＝2PB2.

解析

(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，

故∠PAD＝∠PDA.

因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，

∠DCA＝∠PAB，

所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.

因此BE＝EC.

(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.

因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.

由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

所以AD·DE＝2PB2.

知识点

相似三角形的判定相似三角形的性质圆的切线的性质定理的证明

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正确答案

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易错点

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