几何证明选讲_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

28.如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F．求证：BECE＝EFEA．

正确答案

见解析

解析

证明：连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC．

因为AB＝BC，所以AD＝DC．

因为DEBC，ABBC，所以DE∥AB，

所以CE＝EB．

因为AB是直径，ABBC，所以BC是圆O的切线，

所以BE2＝EFEA，即BECE＝EFEA．

考查方向

本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．

解题思路

本题考查三角函数与解三角形，解题步骤如下：

连接BD，由已知得∠BDA=90°，∠BDC=90°，DE2=BE•CE，由此利用切割线定理能证明BE•CE=EF

•BA．

易错点

切割线定理不会应用

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

如图，A、B是圆O上的两点,且AB的长度小于圆O的直径，

直线与AB垂于点D且与圆O相切于点C.若

27. 求证：为的角平分线;

28.求圆的直径的长度。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

(I)如图22-1，由切割线定理得

= ，为的角平分线

考查方向

本题主要考查切割线定理、弦切角定理、直径所对的圆周角是直角、相等的圆周角所对的弦长相等等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和运算能力。

解题思路

先根据切割线定理求出，然后求出，后即可得到答案；

易错点

不会根据切割线定理求解；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）4

解析

(2）：如图22-2连结并延长交圆于点,连结,

设延长线上一点为,则AE为圆O直径，

直线与圆O相切于点C. ，

（等角的余角相等）

（相等的圆周角所对的弦相等）

圆的直径为4

考查方向

本题主要考查切割线定理、弦切角定理、直径所对的圆周角是直角、相等的圆周角所对的弦长相等等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和运算能力。

解题思路

先证明，后根据勾股定理即可求得答案。

易错点

不会做辅助线导致无法求出正确答案。

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．【选修4-1：几何证明选讲】

如图，已知线段AC为⊙O 的直径，P为⊙O的切线，切点为A，B为⊙O上一点，且BC∥PO．

( I )求证：PB为⊙O的切线；

(Ⅱ)若⊙O的半径为1，PA =3，求BC的长。

正确答案

（1）证明略；（2）．

解析

试题分析：本题属于平面几何问题，题目难度较低，解题时要注意深入分析已知条件和特征结论，善于将各已知条件联系起来考虑，寻找合理的解题思路。

(1)连接,,

又,

,

. 得证

(2)连接，为直角三角形

∽

,

解得

考查方向

本题考查了圆的切线的性质，圆心角的性质以及三角形中全等和相似关系，意在考查考生处理几何问题的能力。

解题思路

本题考查三角形与圆的相关知识，解题步骤如下：

1、通过相应的条件和定理建立起有关角或边之间的关系式，如全等关系。

2、灵活三角形相似得到所需结论。

易错点

1、未想到连接OB、AB而无法下手；

2、第二问中由相似得到合适结论出错。

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1:几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点．

28.求证：DE∥AB；

29.求证：ACBC= 2ADCD．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（Ⅰ）连接，因为为弧BC的中点，

所以．

因为为的中点，所以．

因为为圆的直径，所以，

所以． …5分

考查方向

圆切线的判定和证明

解题思路

作切线，然后找角的等量关系，然后证明平行

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（Ⅱ）因为为弧BC的中点，所以，

又,则．又因为，，所以∽．

所以，,. …10分

考查方向

与圆有关的比例线段，相似三角形的性质和判定

解题思路

先证明三角形DAC和三角形ECD相似，然后得到比例式，进而转换成证明结论

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，是直角斜边上一点，．

17.若，求角的大小；

18.若，且，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有.

因为，所以.

又

所以. ……………3分

于是，所以. ……………6分

考查方向

正弦定理，解三角形

解题思路

由正弦定理求出角ADC的大小，进而求出角ADC的大小

易错点

正弦定理性质掌握不牢

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（Ⅱ）设，则，，.

于是，， ……………9分

在中，由余弦定理，得，

即，得.

故 ……………12分

考查方向

余弦定理，三角函数值

解题思路

根据题意，建立三角函数的值，利用余弦定理建立等量关系，然后求出DC的值

易错点

余弦定理掌握不牢

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．如图，在直角中，，为边上异于的一点，以为直径作，分别交于点．

（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）若为中点，且，求的长．

正确答案

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

解析

试题分析：本题是有关直线与圆的问题，难度不大。在解题中注意结合切线的性质和勾股定理等知识进行解决。

（Ⅰ）

连结，则，

因为为直径，所以，

因为，所以，

所以，

所以四点共圆．

（Ⅱ）由已知为的切线，所以，故，

所以，

因为为中点，所以．

因为四点共圆，所以，

所以

考查方向

本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理、四点共圆等基础知识，考查推理论证能力．难度较小．

解题思路

本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。解题步骤如下：

（Ⅰ）利用四点共圆的判定定理，证明四点共圆；

（Ⅱ）利用切线性质和勾股定理及第一问的结论，求出的长。

易错点

第二问计算中，不易想到利用第一问四点共圆的性质解决。

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，，则弦的长为_______.

正确答案

解析

略

知识点

圆的切线的判定定理的证明

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

正确答案

解析

（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

知识点

圆的切线的判定定理的证明弦切角

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点。

（Ⅰ）求证：是圆的切线；

（Ⅱ）若，求的值．

正确答案

见解析．

解析

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，题目的难度是容易题。

（Ⅰ）连接，可得，∴

又，∴，又为半径，∴是圆的切线

（Ⅱ）过作于点，连接，则有，

设，则，∴

由可得，又由，

可得

考查方向

本题考查了平面几何的知识，主要涉及直线与圆的位置关系，三角形相似的考查．

解题思路

本题考查平面几何的知识，解题步骤如下：利用圆的相关定理证明；利用切割线定理和相交弦定理证明。

易错点

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．选修4—1：几何证明选讲。

如图，于点，以为直径的圆与交于点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，点在线段上移动，,与相交于点，求的最大值．

正确答案

解,（Ⅰ）在中，，于点，

所以，

因为是圆的切线，

由切割线定理得．

所以．

（Ⅱ）因为，所以．

因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值．

弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合．

因此．

解析

（Ⅰ）在中，，于点，

所以，

因为是圆的切线，

由切割线定理得．

所以．

（Ⅱ）因为，所以．

因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值．

弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合．

因此． 23. （Ⅰ）曲线：的直角坐标方程为．

曲线与轴交点为．

曲线：的直角坐标方程为．

曲线与轴交点为．

由，曲线与曲线有一个公共点在x轴上，知．

（Ⅱ）当时, 曲线：为圆．

圆心到直线的距离．

所以两点的距离．

考查方向

本题考查了几何选讲部分的直线与圆中的切割线定理、垂径定理以及直角三角形射影定理，高考在22题中的三选一出现。

解题思路

易错点

第一问未能准确读图，找到线段关系;第二问不能充分利用OF⊥NF得到，则无法继续求解。

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

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考查方向

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