热门试卷

（1）解：，  …………………………2分

；    ………………………………4分

（2）解：，。  ………………………………6分

因为　，

所以　。             ………………………………8分

（3）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明。   …………9分

事实上，当时，

。

下面证明。

法一：对任何，

………………10分

……………………………………11分

 …………………………12分

所以　，…………………………13分

法二：对任何，

当时，

；………………………………………10分

当时，

综上，。           ………………………………………13分

（1）解：设等比数列的公比为，

，则，，，     ………………2分

数列的前项为，数列的前项为，

数列的前项为；……………3分

（2）解：据集合中元素，猜测数列的通项公式为，……4分

，只需证明数列中，。

证明如下：

，即，

若，使，那么，所以，若，则，因为，重复使用上述结论，即得。

同理，，即，因为“”数列的公差的整数倍，所以说明与同时属于或同时不属于，

当时，显然，即有，重复使用上述结论，

即得； ………………………8分

（3）解：（1）当时，所以因为，所以；        ………………9分

（2）当时，由（2）知，数列中，，则，且，使得

，………11分

下面讨论正整数与的关系：

数列中的第项不外如下两种情况：

①或者②，

若①成立，即有，

若②成立，即有 ，

有或者，

显然，所以。

综上所述，。………………14分

（1）数列为三阶期待数列    ………………………………………………1分

数列为四阶期待数列,     ……………………………..…..3分(其它答案酌情给分)

（2）设等差数列的公差为，

，

所以，

即，       …………………………………………………………4分

当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾，    ……………………………………………………5分

当d>0时,据期待数列的条件①②得：

由得，

…………………………7分

当d<0时，

同理可得

由得，

………………………8分

（3）（i）当k=n时，显然成立；…………………………………………………9分

当k<n时，据条件①得

，

即，

,

……………………………………………………………………11分

（ii）

 ………………………………14分

（1）设等差数列的首项为，公差为d，

由于 

所以

解得

由于

(2)因为  所以

因此

故 

所以数列的前n项和

本题考查不等式的性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力。

证明：（1）由于x≥1,y≥1，所以

将上式中的右式减左式，得

既然x≥1,y≥1，所以，从而所要证明的不等式成立。

（2）设，由对数的换底公式得

于是，所要证明的不等式即为

其中

故由（1）立知所要证明的不等式成立。

(1) ；

（2） ① 任意，设，则，即

② 假设（矛盾），∴ 

∴ 在数列中，但不在数列中的项恰为。

（3） ，

，，

∵ 

(1) 解：，

∴ 当时，有  解得 .

   由,               ①

得,  ②

② - ①得: .             ③

以下提供两种方法：

法1：由③式得：，

即;  ，

∵，

∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列.

∴,即.

当时, ，

又也满足上式,

∴.

法2：由③式得：，

得.                       ④

当时,,             ⑤

⑤-④得：.

由，得，

∴.

∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.    ∴.

（2）解：∵成等差数列，

∴.

假设成等比数列，

则，

即，

化简得：.        （*）

∵，

∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立。

∴不是等比数列.

（1） ，…….2分

若，则

所以………………………3分

（2） ， 所以 ，从而

①当，即时，

所以

解得： （，舍去）         ……………….4分

②当 ，即 时，，

所以

解得 （ ，舍去）  ………………5分

①     当 时，即 时，

解得 （ ，舍去）      ………………6分

综上，集合，，.      ………………7分

（3）结论成立.                                    ……………………8分

由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，

可设（是非负整数，是正整数，且互质）

由，可得；…………………9分

若，设（，是非负整数）

则 ，而由得

，故，，可得 ………11分

若则，

若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，

但小于的正整数共有个，矛盾.

故中至少有一个为0，即存在，使得.

从而数列中以及它之后的项均为0，

所以对于大于的自然数，都有……………………13分

（1），，      

（2）；

；

。

(3)由（1）（2）不难发现对，    有，

所以当时，

于是，。

所以                              

，。

又，满足上式，

所以对，。