热门试卷

因为正实数成等比数列，所以，

即有（当且仅当时等号成立），

则，

即证.

（1）设公比为，则.

.………………2分

时，.

∴…………………5分

（2），，

两式相减得：.

∴时，；

时，，，

两式相减得：.

∴,有.………………7分

,

记，则，

∴，

∴数列递增，其最小值为.

故.…………………12分

（1）.

在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

∴.∴.…………………4分

（2）（ⅰ）用数学归纳法证明.

当时，，结论成立；若时结论成立，即.

令，则，在上，递增.

而，∴在上，∴.

于是，由,即，时结论成立.

由数学归纳原理，.

又由（1）知时，.

∴,数列单调递减.……………………9分

（ⅱ）我们先证明.①

.②

令，则

，

在上，，递增.

而，∴在上，.

故②成立，从而①成立。

由于，所以

.…………………14分

解：矩阵M的特征多项式为=

因为方程的一根，所以

由,得

设对应的一个特征向量为,则,得

令,所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为

解:因为是正数，所以

同理，将上述不等式两边相乘，

得,

因为,所以

设，则由得，

解得所以.

（1）由已知可得，即，

即 即     （2分）

∴

累加得

又∴(6分)

（2） 由（1）知，∴，

∴

（12分）

（1）. 由，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减。

函数在处取得极大值，故.…………………………3分

（2）令，………4分

则.

函数在上可导，存在，使得.

又

当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，；

故对任意，都有.…………………………8分

（3）用数学归纳法证明。

①当时，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

当时，结论成立.…………………………9分

②假设当时结论成立，即当时，

. 当时，设正数满足令，

则，且.

…………13分

当时，结论也成立。

综上由①②，对任意，，结论恒成立. ……………………14分

（1） 当时由…………2分

所以k=，…………………………………………4分

（2） 由，可得……………６分

………………………………７分

……………………………9分

……………………10分

…………………………………………12分

（1）因为是首项为1，公差为3的等差数列，所以，

假设的展开式中的第r+1项为常数项（），

，于是.

设，则有，即，这与矛盾.

所以假设不成立，即的展开式中不含常数项. 

（2）证明：由题设知an=，设m=，

由（1）知，要使对于一切m，的展开式中均不含常数项，

必须有：对于，满足=0的r无自然数解，

即. 

当d=3k时，.

故存在无穷多个d，满足对每一个m，的展开式中均不含常数项，

（1）当

假设当

则当时，

…

其中….

所以

所以；

（2），故的末位数字是7.

证明：由已知，得，

等价于，即（1）

（方法一）用数学归纳法证明。

①当时，左边，右边，所以（1）成立

②假设当时，（1）成立，即

那么当时，

所以当时，（1）成立

综合①②，得成立

所以.

（方法二）当时，左边，右边，所以（1）成立

当时，

所以.

矩阵M的特征多项式为=.

令得矩阵M的特征值为－1和3 。

当

所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.

当

所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.