热门试卷

解析：（1）因为，，成等比数列，所以。

设数列的公差为，则.            2分

将代入上式化简整理得. 又因为，所以.

于是，即数列的通项公式为.

3分

（2）假设存在正整数对，使得，则由（Ⅰ）知.

当时，不成立，于是.

3分

因为为正整数，所以，即，且5被整除，

故当且仅当，或时，为正整数.                   2分

即当时，；时，；时，.

故存在正整数对，，，使得成立.             2分

（1）证明：由得代入得

整理得，

∵否则，与矛盾

从而得,  -

∵ ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列

（2）∵，则。        

∴＝

＝-

证法1：∵

＝＝

∴。

证法2：∵    ∴

∴

∴。

（3）用数学归纳法证明：

①当时，不等式成立；

②假设当（，）时，不等式成立，即

，那么当时

＝

∴当时，不等式成立

由①②知对任意的,不等式成立。

（1），

为等差数列，又，。

。     …………………（4分）

（2）设，则

3。

。

。

。…………………（8分）

（3）由已知得，从而求得猜测C1最大，下证：

，

∴ 存在，使得对一切正整数均成立。  …………………（12分）

（1） 当n≥2时由…………2分

=3+k，所以k=，…………………………………………4分

（2） 由，可得,……………６分

………………………………７分

……………………………9分

……………………10分

…………………………………………12分

解析：（1）由题意得

又，

数列是以为首项，以2为公比的等比数列。

（2）由（1）知（）] 

由及得

以上式子相加

，   也适合

，

则

（3）由（1）得，即，

数列中，（含项）前的所有项的和是：

当时，其和是

当时，其和是  

又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数

所以当时，，

所以存在=988使得      

（1）由已知得=, , ,

由于为等比数列，所以。

=, 。

 。

又==3，= =9 ,

数列{}的公比为3，

=3=。

（2）由++…+= ,             ①

当时，==3，  =3。

当时，++…+= ，           ②

由①－②得 ==  ，

=2=2,

=

=3+23+2+…+2

=1+2+23+2+…+2=1+2=  

（1）∵点（n，）在直线y=上，

∴，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1==n+5，

当n=1时，a1=S1=6，n+5=6，

∴。

又bn+2﹣2bn+1+bn=0，

∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn，n∈N*，

∴{bn}为等差数列，

∵b1=5，∴，解得d=3，

∴bn=b1+3（n﹣1）=3n+2，

∴。

（2）证明：cn=

=

=

=，

∴Tn=

==，

∵Tn+1﹣Tn==，

∴Tn单调递增，故（Tn）min=，

∴Tn≥。

（1）由①，得.

由②，当，，时. ,,中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得.

经检验，当时，符合题意.                             ………………3分

（2）假设是数列中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且.

由①，.                            ………………4分

对于数，由②可知：；对于数，由②可知：.                                                     ………………6分

所以 ，这与①矛盾.

所以 不可能是数列中的项.                          ………………7分

（3）的最大值为，证明如下：                              ………………8分

(1)令，则符合①、②.       ………………11分

(2)设符合①、②，则：

（ⅰ）中至多有三项，其绝对值大于1.

假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中.

则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项.

同理：也是数列中的项.

但，.

所以 .

所以 ，这与①矛盾.

（ⅱ）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.

假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾.

（ⅲ）中至多有两项绝对值等于1.

（ⅳ）中至多有一项等于0.

综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知中至多有9项.

………………14分

由（1），（2）可得，的最大值为9.

（1）在中，令n=1，可得，即。

当时，∴， …

∴，即，∵，∴，即当时，，又，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列。

于是，∴。   

（2）∵,∴,

∴=。

由，得，即，

单调递减，∵，∴的最大值为4。