热门试卷

（1）数列不是“Ω”数列；数列是“Ω”数列。               ……………………2分

（2）不存在一个等差数列是“Ω”数列。

证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，

则由  得，与矛盾，

所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列。            ……………………7分

（3）将数列按以下方法重新排列：

设为重新排列后所得数列的前n项和（且），

任取大于0的一项作为第一项，则满足，

假设当时，

若，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证，

若，则剩下的项必有0或与异号的一项，否则总和不是1，

所以取0或与异号的一项作为第n项，可以保证。

如果按上述排列后存在成立，那么命题得证；

否则，，…，这m个整数只能取值区间内的非0整数，

因为区间内的非0整数至多m-1个，所以必存在，

那么从第项到第项之和为，命题得证。

综上所述，数列中必存在若干项之和为0。                 ……………………13分

解析：（1）， ①  当时，.   ②

由 ① - ②，得.     .

又 ，，解得 .

 数列是首项为1，公比为的等比数列。

（为正整数）.            ……………………6分

（2）由（1）知

由题意可知，对于任意的正整数，恒有，

 数列单调递增， 当时，该数列中的最小项为，

 必有，即实数的最大值为1.                   ……………… 12分

（1）当，时，

又，也满足上式，所以数列{}的通项公式为。

，设公差为，则由成等比数列，

得， 解得（舍去）或，

所以数列的通项公式为。

（2）由（1）可得

（1）证明：

∴an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），a2﹣a1=3

∴数列{an+1﹣an}是以3为首项，公比为2的等比数列，

∴an+1﹣an=3•2n﹣1（3分）

∴n≥2时，

an﹣an﹣1=3•2n﹣2，

…

a3﹣a2=3•2，

a2﹣a1=3，

以上n﹣1个式子累加得an﹣a1=3•2n﹣2+3•2n﹣3+…+3•2+3=3（2n﹣1﹣1）

∴an=3•2n﹣1﹣2

当n=1时，也满足

从而可得（6分）

（2）解：由（1）利用分组求和法得

Sn=（3•20﹣2）+（3•21﹣2）+…（3•2n﹣1﹣2）

=3（20+21+…+2n﹣1）﹣2n

=﹣2n

=3（2n﹣1）﹣2n（9分）

Sn=3（2n﹣1）﹣2n＞21﹣2n，

得3•2n＞24，即2n＞8=23，

∴n＞3

∴使得Sn＞21﹣2n成立的最小整数4.（12分）

（1）因为a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝，

则时，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝，

两式相减，得anbn＝n·2n(n≥2)，

当n＝1时，a1b1＝2，满足上式，所以anbn＝n·2n(nN*)，

又因为{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，则bn＝，所以an＝2n，

故数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，

所以。

（2）设{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由（1）得，  

则

。

故当时，数列{bn}是等比数列，公比为2，此时an＝na1，；   

当时，数列{bn}不是等比数列。

解析：（1）设等比数列的公比为，由已知得……………2分

又∵，，解得     ………………3分

∴；…………………5分

（2）由题意可得  ，

 ，   （）

两式相减得  ，

∴，（）……………………7分

当时，，符合上式，

∴，（）…………………………8分

∴，…………………12分