- 数列
- 共2612题
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________.
正确答案
4
解析
设公差为d，则
即
知识点
17.已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
正确答案
见解析。
解析
(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
又a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，
∴
∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．
知识点
14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”。那么
正确答案
2016
解析
略。
知识点
19.已知{an}是由正数组成的数列，其前n项和Sn与an之间满足：an+
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn=（
正确答案
（1）an=n
（2）Tn=
解析
（1）∵an+
∴
当n≥2时，
∴an=Sn﹣Sn﹣1=
化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，
∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1=1，
∴数列{an}为等差数列，
∴an=1+（n﹣1）×1=n
（2）bn=
∴数列{bn}的前n项和Tn=
∴
∴
∴Tn=1+
知识点
2.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．
A
B
C
D
正确答案
解析
略
知识点
12.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n＝8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________.
正确答案
解析
由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得
知识点
16.已知数列
正确答案
解析
∵
∴设
由上可知，数列
∴
即
令
则
②－①，得
∴
知识点
20.已知数列{
（1）求
（2）证明：
（3）设
正确答案
见解析。
解析
（1）
∵
（2）∵
∴数列{
∴
（3）
∴
∴
由条件可知
a＝1时，
a<l时，对称轴
∴
综上知：a≤1时，
知识点
13.在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60＝________.
正确答案
480
解析
依题意得，当n是奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}中的奇数项依次形成首项为1，公差为1的等差数列，a1＋a3＋a5＋…＋a59＝30×1＋
知识点
19.已知数列
（1）设
（2）（i）求数列
（ii）求证：对于任意
正确答案
见解析。
解析
（1）由已知得
则
又
（2）（i）解法1：由（I）得
相减得
则
相加得
当
由
故
解法2：由
则
相加得
解法3：由
设
又
则
（ii）证法1：易证
则
同理可得
则
故
证法2：
故
证法3：
易证
则
故
知识点
正确答案
C
解析
略
知识点
正确答案
C
解析
略
知识点
正确答案
解析
略
知识点
正确答案
C
解析
略
知识点
6.在递增的等比数列
正确答案
解析
略
知识点
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